知乎上有一段回答[1]：
什么是赋范线性空间、内积空间，度量空间，希尔伯特空间 ？ 现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。
既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”（从一些具体问题抽象出来的结构）。
从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。
对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。
但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。
但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。
因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。
这几个空间之间的关系是：
线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。
赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间（具有线性结构的度量空间）
内积空间是赋范线性空间
希尔伯特空间就是完备的内积空间。
在初等数学中，我们定义了四则运算法则；在现代数学中，我们引入了集合和元素的概念，定义了空间，向量，内积，范数等等概念 ---- 我们可能会感到疑惑，这些完全脱离实际应用场景的概念，为什么可以被应用到实际的分析中？
其实这些数学概念和实际应用场景并没有任何关联，数字与现实世界中的对象的关联是人为建立的。一个数字或矩阵可以引用一个或者多个实体，数字引用哪一个实体取决于人的解释，数学上定义的关于数字的种种概念和操作：空间，向量，内积，范数等，它们能否正确描述实际应用场景取决于实践的检验。
例如，数字、向量、矩阵、集合都是数学对象，它们常常被人们用来引用几何对象，如点、线段 ----- 注意同一个数字也可以引用不同实体。在对向量与线段进行简单的关联后，我们居然神奇的发现，可以用数学上定义的内积来正确判断两个线段是否垂直，也就是，事件 “两个向量内积等于0” 和事件 “两条关联的线段垂直” 总是同时发生或同时不发生。根据这个结论，我们就建立了向量内积和线段垂直关系的逻辑关系，我们的数学公式就正确的描述了现实场景。
[1] 知乎：如何理解希尔伯特空间？
数学：完全独立于实际场景的情况下定义的概念，可以正确的描述世界
原文：http://www.cnblogs.com/xinchrome/p/4776582.html