【大家明白才是真的明白】动态规划算法什么时候能用一维数组解问题

先看三则算法的代码：

0-1 背包问题：

int dpf[N+1][W+1]; //数组从0开始
int dp_solve()
{
	for(int i=0; i<N;i++)
		for(int j=0; j<=W;j++)
			if(j<w[i])
				dpf[i+1][j]=dpf[i][j];
			else
			    dpf[i+1][j]=max(dpf[i][j],dpf[i][j-w[i]]+v[i]);
	return dpf[N][W];
}

int dp[N+1][W+1]; //数组从0开始
int dpsolve()
{
	for(int i=0; i<N;i++)
		for(int j=0; j<=W;j++)
			if(j<w[i])
			    dp[i+1][j]=dp[i][j];
			else
			    dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
	return dpf[N][W];
}

int dp[m+1][n+1];
int Lcs()
{
	 for(int i=0;i<m;i++)
		 for(int j=0;j<n;j++)
			if(s1[i]==s2[j])
			  dp[i+1][j+1]=  dp[i][j]+1;
			else
			  dp[i+1][j+1]=  max(dp[i+1][j],dp[i][j+1]);
	 return dp[m][n];
}

0-1 背包问题 （一维数组DP）：

int dp[W+1]; //数组从0开始
int dp_solve()
{
	for(int i=0; i<N;i++)
		for(int j=W; j>=w[i];j--)
		    dp[j] = max( dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);
	return dp[W];
}

完全背包问题（一维数组DP）：

int dp[W+1]; //数组从0开始
int dp_solve()
{
	for(int i=0; i<N;i++)
		for(int j=w[i]; j<=W;j++)
		    dp[j] = max( dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);
	return dp[W];
}

而对于LCS，我们无能为力，分析其原因，可以发现，当 DP算法当前的状态 dp[i+1][j+1]  和 dp[i][j] , dp[i-p][j-q] 等值相关时，如下图所示D 为当前状态，C代表同行前置状态，B代表同列上层状态， A 代表D的上层并且前置状态 。 

设 D =  max {  fun(A), fun(B), fun(C) }

(1) 当 D = max {  fun(A), fun(B) }   即D仅和 A 、B 相关，可以使用一维数组优化，其二级循环 为 从大到小，（因为要使用到 上一层A 状态相关，从小到大 会更新A 的状态），如下代码：

for(int i=0; i<N;i++)
     for(int j=M; j>=0;j--)
		// loop codes

(2) 当 D =  max {  fun(B), fun(C) } 即D 仅和 B、C相关，可以使用一维数组优化，其二级循环为从小到大，（因为要使用本层状态C的最新值，所以需要先更新C，再考虑D），如下代码：

for(int i=0; i<N;i++)
	for(int j=M; j>=0;j--)
		// loop codes

(3)  D =  max {  fun(A), fun(C) }  即 D 和 A、C 存在关联时，不可以使用一维数组优化，因为 D 和 A 相关，那么要求 二级循环从大到小，而D和C相关，却要求二级循环从小到大。矛盾，所以不可行。

当我们遇到一维数组无法优化 二级 DP 内存消耗时，我们也可以用一个绝对靠谱的方法，也就是交替法，使用两个一维数组搞定（如 dp[2][M]）.

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【大家明白才是真的明白】动态规划算法什么时候能用一维数组解问题

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