给定一个十进制数N，写下从1到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有1的个数。例如：

N=12，那么1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。这样1的个数为5。

问题是：写出一个函数F(N)，返回1到N之间出现1的个数，比如F(12)=5。

解法一：

这个问题看上去并不困难，最简单的方法就是从1开始遍历到N，将其中每一个数中含有1的个数加起来，自然而然就得到了从1到N所有1的个数的和。

int Count1InAInt(int n)
{
	int num=0;
	while(n)
	{
		if(n%10==1)
			num++;
		n=n/10;
	}
	return num;
}

int F1(int n)
{
	int ret=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ret+=Count1InAInt(i);
	
	return ret;
}

这个方法很简单，实现也很简单，容易理解。但是这个算法的效率是致命问题。时间复杂度为O(N*lgN)，如果给定N=100000000，那么算出F(N)的值大概需要30秒的时间。

看起来要计算1到N的数字中所有1的和，至少也得遍历1到N之间所有的数字才能得到。那么有没有快一点的方法来解决这个问题呢？

解法二：

仔细分析这个问题之后，给定了N，似乎可以通过分析小于N的数在每一位上可能出现1的次数之和来得到这个结果。

例如：F(13)=十位出现1的个数+个位出现1的个数=4+2=6；

下面我们推导一般情况下，从N到F(N)的计算方法：

假设N=abcde，这里a,b,c,d,e分别是十进制数N的各个数位上的数字。如果要计算百位上出现1的个数，它将会受到3个因素的影响：百位上的数字，百位以下的数字(低位)，百位以上的数字(高位)。

如果百位上的数字为0，可知，百位上出现1的次数由更高位决定，比如12023，百位上出现1的情况是：100~199，1100~1199....11100~11199，一共有1200个。也就是由更高位数字12决定，并且等于更高位数字12*当前的位数(100)。

如果百位上的数字为1，可知，百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位的影响。例如对于12123，受高位影响，百位上出现1的情况是：100~199，1100~1199....11100~11199，一共有1200个，等于更高位数字12*当前的位数(100)。但是它还受低位数影响，百位上出现1的情况是：12100~12123，一共124个，等于低位数(123)+1。

如果百位上数字大于1(2,3…9),则百位上出现1的情况仅受更高位的影响。例如：12223，则百位上出现1的可能情况为：100~199，1100~1199....11100~11199，12100~12199，一共1300个，并且等于更高位数字加一，再乘以当前的位数，即(12+1)*100。

int F2(int n)
{
	int ret=0;
	int factor=1;
	int low=0;
	int cur=0;
	int high=0;

	while(n/factor!=0)
	{
		low=n-(n/factor)*factor;
		cur=(n/factor)%10;
		high=n/(factor*10);
		switch (cur)
		{
			case 0:
				ret+=high*factor;
				break;
			case 1:
				ret+=high*factor+low+1;
				break;
			default:
				ret+=(high+1)*factor;
				break;
		}
		factor*=10;
	}
	return ret;
}