在阐述这个问题前，我们先来看一道二重积分题目：
计算$\int_0^1$$\int_0^1$$\max\big\{x,y\big\}dxdy$
先来看看它的一般解答：$\int_0^1$$\int_0^1$$\max\big\{x,y\big\}dxdy$$=$$\int_0^1dx$$\int_x^1ydy$$+$$\int_0^1dy$$\int_y^1xdx$$=$$\frac{2}{3}$
上述解答的想法是很自然的，即考虑$x$与$y$分别的大小关系然后进行二重积分分区域计算。但仔细想想，其实大可不必如此。
这道题目中，由于积分区域为$\big\{0,1\big\}$$\times$$\big\{0,1\big\}$，显然$x$与$y$地位等同，那么无外乎两种情况：要么$x$$>$$y$，要么$y$$>$$x$；而又由于
它们的地位对等，故直接可以得出：$\int_0^1$$\int_0^1$$\max\big\{x,y\big\}dxdy$$=$$2\int_0^1dx$$\int_x^1ydy$$=$$\frac{2}{3}$
现在我们来看下面这一道三重积分题目：
计算$\int_0^1$$\int_0^1$$\int_0^1$$\max\big\{x,y,z\big\}dxdydz$
可以想象，如果进行分区域计算，将会十分繁琐甚至有可能计算错误。为此，我们考虑上一道题的思想：由于积分区域为$\big\{0,1\big\}$$\times$$\big\{0,1\big\}$$\times$$\big\{0,1\big\}$。
从而$x$，$y$，$z$的地位对等，他们最大值的关系由简单的排列组合知识知有$3!=6$种，从而得：
$\int_0^1$$\int_0^1$$\int_0^1$$\max\big\{x,y,z\big\}dxdydz$$=$$6\int_0^1dx$$\int_x^1dy$$\int_y^1zdz$$=$$\frac{3}{4}$
原文：http://www.cnblogs.com/mathyang/p/4889472.html