高斯消去法解线性系统

高斯消去法分为两个过程：第一步是前向消元（forward elimination），也就是将系数矩阵转化成上三角矩阵的过程；第二步是回代（back substitution）过程，自底向上求解方程组的过程。

选择主元（pivoting），主元（pivot）一定不能为0.且主元应当尽可能大。所以一般情况下，我们采取部分选主元（partial pivoting）。选择主元为所在各列中绝对值最大的元素（或者非0亦可）。然后将对应的该行与主元行进行交换，然后消元。

function x = gausselimination(A,b)
ab = [A,b];
[r,c] = size(ab);
for k=1:r-1
    [rm,im]=max(abs(ab(k:r,k)));
    im = im +k-1;
    if(ab(im,k)~=0)
        if(im~=k)
            ab([k im],:)=ab([im k],:);
        end
    end
    for i=k+1:r
        ab(i,k:c)=ab(i,k:c)-ab(i,k)/ab(k,k)*ab(k,k:c);
    end
end

x=zeros(r,1);
x(r)=ab(r,c)/ab(r,r);
for i=r-1:-1:1
    x(i)=(ab(i,c)-ab(i,i+1:r)*x(i+1:r))/ab(i,i);
end

以上是matlab代码实现（保存为gausselimination.m）。以下是运行结果：

>> A = [10 -7 0;-3 2 6;5 -1 5]

A =

    10    -7     0

    -3     2     6

     5    -1     5

>> b = [7;4;6]

b =

     7

     4

     6

>> gausselimination(A,b)

ans =

    0.0000

   -1.0000

    1.0000

高斯消去法解线性系统

原文：http://my.oschina.net/donngchao/blog/525496