设 $\calC$ 为一集类, 且 $\vno\in \calC$, 令 $$\bex \calG=\sed{A=\sex{\cap_{i=1}^n A_i}\cap \sex{\cap_{j=1}^m B_j^c},\ A_i,B_j\in \calC, 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m,\ m,m\geq 1}, \eex$$ 则 $\calG\supset \calC$, 且 $\calG$ 为半环. 特别若 $\calC$ 对有限并及有限交封闭, 则 $\sed{A\cap B^c;\ A,B\in \calC}$ 为半环.
证明: 显然, $\calG\supset \calC$, $A,C\in \calG\ra A\cap C\in \calG$. 又 $$\beex \bea A,C\in\calG&\ra A=\cap_{i=1}^n A_i\cap \cap_{j=1}^m B_j^c,\ C=\cap_{k=1}^s C_k\cap \cap_{l=1}^t D_l^c\ (A_i,B_j,C_k,D_l\in\calC)\\ &\ra A\bs B =\cup_{k=1}^s\cup_{l=1}^t \sez{ \sex{\cap_{i=1}^n A_i\cap \cap_{j=1}^m B_j^c\cap C_k^c}\atop \cup\sex{\cap_{i=1}^n A_i\cap \cap_{j=1}^m B_j^c\cap D_l} }\in \calG_{\vSa f}, \eea \eeex$$ 而 $\calG$ 为半环. 若 $\calC$ 对有限并及有限交封闭, 则 $$\bex \cap_{i=1}^n A_i\cap \cap_{j=1}^m B_j^c= \cap_{i=1}^n A_i\cap \sex{\cup_{j=1}^m B_j}^c, \eex$$ 而 $\calG\subset \sed{A\cap B^c;\ A,B\in \calC}$. 又显然有 $\sed{A\cap B^c;\ A,B\in \calC}\subset \calG$, 我们得到 $$\bex \sed{A\cap B^c;\ A,B\in \calC}=\calG \eex$$ 为半环.
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