leetcode day2

【参考】http://book.2cto.com/201210/5663.html

【参考】http://www.cnblogs.com/exponent/articles/2141477.html

nim game定义：

Nim是一种两个人玩的游戏，玩家双方面对一堆硬币（或者石头或者豆粒）。假设有k≥1堆硬币，每堆分别有n1,n2,…,nk枚硬币。这一游戏的目标就是取得最后一枚硬币。游戏的规则如下：

（1)玩家轮番出场（我们称第一个取子的玩家为Ⅰ，而第二个玩家为Ⅱ）。

（2)当轮到一个玩家取子时，他们都要从选择的硬币堆中至少取走一枚硬币。（这位玩家也可以把所选硬币堆的硬币都取走，于是剩下一个空堆，这时它“退出”。）

当所有硬币堆都空了的时候，游戏结束。走最后一步的玩家，即取走最后一枚硬币的玩家获胜。

在这个游戏中的变量是堆数k和堆中的硬币数n1,n2,…,nk。我们要问的组合问题是确定是第一个玩家胜还是第二个玩家胜1，以及这位玩家为了获胜应该如何取子，也就是获胜策略。

为了进一步理解Nim游戏，下面我们考虑一些特殊的情况2。如果一开始就只有一堆硬币。那么玩家Ⅰ取走所有硬币就可以获胜。现在假设k=2，且分别有n1枚和n2枚硬币。玩家Ⅰ是否可以获胜不取决于n1，n2具体是多少，而是取决于它们是否相等。假设n1≠n2。玩家Ⅰ可以从大堆中取走足够多的硬币以便对于玩家Ⅱ来说，剩余两堆的大小相同。现在，当轮到玩家Ⅰ时，他可以模仿玩家Ⅱ的取子方式。因此，如果玩家Ⅱ从一堆中取走了c枚，那么玩家Ⅰ则从另一堆中取走相同数目的硬币。这样的策略保证玩家Ⅰ可以获胜。如果n1=n2，那么玩家Ⅱ通过模仿玩家Ⅰ的取子方式而获胜。因此，我们就完全解决了2堆的Nim游戏的取子问题。下面是2堆Nim游戏的一个例子，其堆的大小分别是8和5：

上述解决2堆Nim游戏的想法是用某种方式取子使得剩余两堆的大小相同，这一想法可以推广到任意k堆的情况。

把nim每堆的数字用二进制表示，然后位数对齐进行异或运算，如果全0则说明是game是平衡的，否则是非平衡的。

若一个Nim游戏不是平衡的，则称它为非平衡的（unbalanced）。我们说第i位是平衡的，指的是和ai+bi+…+ei是偶数，否则就是非平衡的。因此，若一个游戏是平衡的，则它在各个位上都是平衡的，而对于非平衡游戏来说，至少存在一个非平衡位。

于是我们有下面的陈述：

玩家Ⅰ（先出手的）能够在非平衡Nim游戏中获胜，而玩家Ⅱ（后出手的）则能够在平衡Nim游戏中获胜。

为了理解上述的结论，我们扩展2堆Nim游戏中使用的策略。假设这个Nim游戏是非平衡的。设最大不平衡位是第j位。于是，玩家Ⅰ以某种方式取走硬币给玩家Ⅱ留下一个平衡游戏。他的作法是：选出一个第j位上是1的堆，并从中取走一定数目的硬币使得剩下的游戏是平衡的（参见练习题32）。无论玩家Ⅱ怎样做，他都不得不又给玩家Ⅰ留下一个不平衡的游戏，玩家Ⅰ又把这个游戏变成平衡游戏。如此这般继续下去就可以保证玩家Ⅰ获胜。如果这个游戏开始时就是平衡游戏，那么玩家Ⅰ第一次取子使其变成不平衡游戏，此时轮到玩家Ⅱ采用平衡游戏的策略。

leetcode上的nim游戏是只有一堆硬币，并且每次取硬币的个数（小于等于3个，至少1个）有限制的特殊情况，

public boolean canWinNim(int n) {
    if (n <= 0) {return false;}
    return n % 4 != 0;
}

• According to the hint, we know that if n = 4, no matter how many stones I remove, I lose. If n = 5, I can remove one stone and there are 4 stones for another player. Thus, I win. Similarly, if n = 6 or 7, I can remove 2 or 3 stones and i win finally.
• If n = 8, no matter how many stones I remove, there are 7 or 6 or 5 stones for another player, s/he can remove stones as we said before and then wins.
• If n = 9 or 10 or 11, I can leave 8 stones to another player, then I win.
• If n = 12, I can leave 9, 10 or 11 stones to another player. Then, s/he can leave 8 stones to me, then I lose. ......
• The rule is: if (n % 4 == 0) then I lose.

leetcode day2

原文：http://www.cnblogs.com/lucky-star-star/p/4951478.html