母函数

这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：  第一种：

有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？ 
考虑用母函数来解决这个问题：  我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，
这样： 
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x² 表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x³表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x⁴表示， 
上面这四个式子懂吗？ 
我们拿1+x² 来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，
那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！） 
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话： 
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来” 
1+x²表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，
x²表示质量为2的砝码取1个的情况。（取or不取）

这里说下各项系数的意义： 
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，
这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x² (而是1*x⁰)。 
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x² )(1+x³ )(1+x⁴ )
=(1+x+x² +x³ )(1+x³ +x⁴ +x⁷ ) 
=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰  
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2x⁵ 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；
同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。 
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。

接下来是第二种情况： 
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数： 
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

以展开后的x4 为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2 
这里再引出两个概念整数拆分和拆分数： 
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。 
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
    现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 const int _max = 10001;  // c1是保存各项质量砝码可以组合的数目 // c2是中间量，保存没一次的情况
 4 int c1[_max], c2[_max];
 5 int main()
 6 {
 7     //int n,i,j,k;
 8     int nNum;   //
 9     int i, j, k;
10     while(cin >> nNum)
11     {
12         for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
13         {
14             c1[i] = 1;
15             c2[i] = 0;
16         }
17         for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
18         {
19             for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
20                 for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
21                 {
22                     c2[j+k] += c1[j];
23                 }
24             for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
25             {
26                 c1[j] = c2[j];
27                 c2[j] = 0;
28             }
29         }
30         cout << c1[nNum] << endl;
31     }
32     return 0;
33 }

个数无限模板

我们来解释下上面标志的各个地方：(***********！！！重点！！！***********)
① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1. 
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。 
③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表達式累乘的表達式)里第j个变量，(這裡感謝一下seagg朋友給我指出的錯誤，大家可以看下留言處的討論)。
如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为  （1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。.  
④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的

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母函数

原文：http://www.cnblogs.com/vivider/p/3654968.html