以下内容摘自acdreamer
定理一：设m与n是互素的正整数，那么
定理二：当n为奇数时，有
因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。
定理三：设p是素数，a是一个正整数，那么
关于这个定理的证明用到容斥：
由于
那么小于
定理四：设
这个定理可以根据定理一和定理三证明，其实用到的就是容斥。如果对容斥熟悉，其实完全就可以直接容斥。
定理五：设n是一个正整数，那么
这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。
定理六：设m是正整数，(a,m)=1，则：
定理七：如果n大于2，那么n的欧拉函数值是偶数
求欧拉函数模板
long long Euler(long long n) { long long ans = n; for (long long i = 2; i * i <= n; i++) { if (n % i == 0) { ans = ans - ans / i; while (n % i == 0) n /= i; } } if (n > 1) ans = ans - ans / n; return ans; }
利用递推法求欧拉函数值：
算法原理：开始令i的欧拉函数值等于它本身，如果i为偶数，可以利用定理二变为求奇数的。
若p是一个正整数满足
说明该数为素数。把这个数的欧拉函数值改变，同时也把能被该素因子整除的数改变。
void init() { for (int i = 1; i < maxn; i++) Euler[i] = i; for (int i = 2; i < maxn; i += 2) Euler[i] >>= 1; for (int i = 3; i < maxn; i += 2) { if (Euler[i] == i) { for (int j = i; j < maxn; j += i) Euler[i] = Euler[i] - Euler[i] / i; } } }
原文：http://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/5041898.html
