$$求证a^b\equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(\%m),其中b\geq \varphi(m)$$
我们模$m$最多只有$m$种结果，所以根据鸽巢原理，在
$$a^0,a^1,...,a^m(\%m)$$
这$m+1$个数中，一定存在最小的$r$和最小的$s$，满足$a^r\equiv a^{r+s}(\%m)$且$r+s\leq m.$$......(1)$
所以序列其实是这样的：
$$a^0,a^1,a^2,...,a^{r-1},a^r,a^{r+1},...,a^{r+s-1},a^r,a^{r+1},...(\%m)$$
也就是说，从$a^0$到$a^{r-1}$不是重复的，但是从$a^r$开始，会循环出现$a^r,a^{r+1},...,a^{r+s-1}$，循环节长度为$s$$......(2)$
由$(1)$式得：$m|a^{r+s}-a^{r}$，即$m|a^{r}(a^{s}-1)$
不妨设$m=a^{r0}m‘$，且$(a,m‘)=1$$......(3)$
变成$a^{r0}m‘|a^{r}(a^{s}-1)$$......(4)$
不妨设$r0<r$
则由$(4)$式得$m‘|a^{r-r0}(a^{s}-1)$，即$m‘|a^{r-r0+s}-a^{r-r0}$，所以$a^{r-r0}\equiv a^{r-r0+s}(\%m‘)$
又因为$m‘|m$，所以$a^{r-r0}\equiv a^{r-r0+s}(\%m)$，所以$r-r0$也满足条件，这与$r$的最小性矛盾，所以$r0=r$，$m=a^rm‘$
另一方面，在$(3)$式中，易知$(a,a^s-1)=1$,所以$(a^r,a^s-1)=1$
故$m‘|a^{s}-1$，$a^s\equiv 1(\%m‘)$
因为$(a,m’)=1$，根据欧拉定理得$a^{\varphi (m‘)}\equiv 1(\% m‘)$
所以$s|\varphi (m‘)$
又因为$m=a^{r}m‘$，$(a,m‘)=1$，所以$\varphi(m‘)|\varphi(m)$
所以$s|\varphi (m)$
所以结论$(2)$可描述为：
$$a^0,a^1,a^2,...,a^{r-1},a^r,a^{r+1},...,a^{r+\varphi (m)-1},a^r,a^{r+1},...(\%m)$$
从$a^0$到$a^{r-1}$不是重复的，但是从$a^r$开始，会循环出现$a^r,a^{r+1},...,a^{r+\varphi (m)-1}$，循环节长度为$\varphi (m)$$......(5)$
因为$m=a^rm‘$，所以$\varphi(m)\geq \varphi(a^r)\geq a^{r-1}(a-1)\geq r$
所以结论$(5)$又可以描述为：从$a^0$到$a^{\varphi(m)-1}$不是重复的，但是从$a^{\varphi(m)}$开始，会循环出现$a^\varphi(m),a^{\varphi(m)+1},...,a^{\varphi(m)+\varphi (m)-1}$，循环节长度为$\varphi (m)$$......(5)$
所以$$a^b\equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(\%m),其中b\geq \varphi(m)$$
另外，如果$b < \varphi(m) $直接快速幂就可以了。
来看一道例题
题目描述
C同学竟然卡题了！而且还卡在一个不难的题目上。题目是这样的：
定义a^b为a的b次方，并且^是满足右结合的，即a^b^c^d=a^(b^(c^d))。例如，2^3^2=2^(3^2)=2^9=512。
现在给定n个数a1，a2，…，an，求a1 ^ a2 ^ … ^ an对p取模的值。
输入格式
输入包括多组数据。
第一行一个整数T，表示数据组数。
接下来每组数据第一行两个整数n,p，第二行n个整数依次描述a1到an。n，p，ai的意义与题目描述一致。
输出格式
对于每组数据输出一行，包含一个整数，即a1 ^ a2 ^ … ^ an对p取模的值。
输入样例
2
5 13
2 2 2 2 2
3 9
2 3 2
输出样例
3
8
数据范围
对于20%的数据，保证n=2；
对于另外30%的数据，保证n≤4，并且a1 ^ a2 ^ … ^ an的位数≤1000，数据组数<=5；
对于100%的数据，保证2≤n≤20，0<p,ai<10^7，数据组数≤100。
我们在求快速幂的时候看一下有没有大于等于mod即可
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<fstream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<utility> #include<set> #include<bitset> #include<vector> #include<functional> #include<deque> #include<cctype> #include<climits> #include<complex> //#include<bits/stdc++.h>适用于CF,UOJ，但不适用于poj using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; typedef pair<int,int> PII; typedef complex<DB> CP; #define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a)) #define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a)) #define fill(a,l,r,v) fill(a+l,a+r+1,v) #define re(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);i++) #define red(i,a,b) for(i=(a);i>=(b);i--) #define ire(i,x) for(typedef(x.begin()) i=x.begin();i!=x.end();i++) #define fi first #define se second #define m_p(a,b) make_pair(a,b) #define p_b(a) push_back(a) #define SF scanf #define PF printf #define two(k) (1<<(k)) #define SIZE(x) (int(x.size()) template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;} template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;} template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;} inline int sgn(DB x){if(abs(x)<1e-9)return 0;return(x>0)?1:-1;} const DB Pi=acos(-1.0); int gint() { int res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!=‘-‘ && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z==‘-‘){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-‘0‘,z=getchar()); return (neg)?-res:res; } LL gll() { LL res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!=‘-‘ && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z==‘-‘){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-‘0‘,z=getchar()); return (neg)?-res:res; } const int maxn=25; int n,p,s; int a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn]; int mul(int x) { int i,res=x; for(i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0) { while(x%i==0)x/=i; res=res/i*(i-1); } if(x>1)res=res/x*(x-1); return res; } int getpow(int a,int k,int modd) { LL res=1,x=a,flag=0; for(;k;k>>=1) { if(k&1) { if(res*x>=modd) flag=1; res=res*x%modd; } if(k==1)break; if(x*x>=modd)flag=1; x=x*x%modd; } if(flag)res+=modd; return res; } int main() { freopen("pow.in","r",stdin); freopen("pow.out","w",stdout); int i,j,T=gint(); while(T--) { n=gint();p=gint();mmst(a,0);mmst(b,0);mmst(c,0);mmst(d,0); re(i,1,n)a[i]=gint(); s=0;for(int t=p;t!=1;t=mul(t))b[++s]=t; re(j,1,s) { c[j]=a[n]%b[j]; if(a[n]>=b[j])c[j]+=b[j]; } red(i,n-1,1) { re(j,1,s)d[j]=getpow(a[i],c[j+1],b[j]); re(j,1,s)c[j]=d[j]; } PF("%d\n",c[1]%p); } return 0; }
原文：http://www.cnblogs.com/maijing/p/5046628.html
