[问题2014S06] 解答

时间：2014-04-13 15:50:39 阅读：511 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

[问题2014S06] 解答 (本解答由巴闻嘉同学给出)

设特征多项式

f (x) = det (x I V ? φ) = x n + a n ? 1 x n ? 1 + ? + a 1 x + a 0,

$f(x)=\det(xI_V-\varphi)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$ 则由 Cayley-Hamilton 定理可得

φ n + a n ? 1 φ n ? 1 + ? + a 1 φ + a 0 I V = 0.

$\varphi^n+a_{n-1}\varphi^{n-1}+\cdots+a_1\varphi+a_0I_V=0.$ 特别地, 上式作用在向量

$\alpha$ 上可得

φ n (α) = ? a n ? 1 φ n ? 1 (α) ? ? ? a 1 φ (α) ? a 0 (α) . ? ? (1)

$\varphi^n(\alpha)=-a_{n-1}\varphi^{n-1}(\alpha)-\cdots-a_1\varphi(\alpha)-a_0(\alpha). \cdots\cdots(1)$ 通过数学归纳法不难证明: 对任意的

k≥n

$k\geq n$ ,

(α)

$\varphi^k(\alpha)$ 都是

n?1

(α)

$\varphi^{n-1}(\alpha)$ ,

$\cdots$ ,

φ(α)

$\varphi(\alpha)$ ,

$\alpha$ 的线性组合, 从而

V = L (α, φ (α), ?) = L (α, φ (α), ?, φ n ? 1 (α)) .

$V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots)=L(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha)).$ 因为

dimV=n

$\dim V=n$ , 所以

{α,φ(α),?,φ

n?1

(α))}

$\{\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha))\}$ 是

$V$ 的一组基. 由 (1) 式可知

$\varphi$ 在基

{α,φ(α),?,φ

n?1

(α))}

$\{\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha))\}$ 下的表示矩阵为:

A = ? ? ? ? ? ? ? ? 010 ? 0 001 ? 0 ? ? ? ? ? 000 ? 1 ? a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? a n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? (2)

$A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix}, \cdots\cdots(2)$

即为特征多项式 $f(x)$ 相伴的友阵 (见复旦高代教材第 250 页复习题 15).

由复旦高代教材第 265 页引理 7.4.1 知 $\lambda I-A$ 相抵于 $\mathrm{diag}\{1,\cdots,1,f(\lambda)\}$ . 由条件不妨设 $f(x)=g(x)h(x)$ , 其中 $(g(x),h(x))=1$ . 由复旦高代教材第 261 页习题 7.2.4 或第 271 页引理 7.6.2 的证明知 $\mathrm{diag}\{1,\cdots,1,f(\lambda)\}$ 相抵于 $\mathrm{diag}\{1,\cdots,1,g(\lambda),h(\lambda)\}$ . 设 $B=\mathrm{diag}\{C,D\}$ 为分块对角阵, 其中 $p$ 阶矩阵 $C$ 是 $g(x)$ 的友阵, $q$ 阶矩阵 $D$ 是 $h(x)$ 的友阵. 再次由复旦高代教材第 265 页引理 7.4.1 知 $\lambda I-B$ 相抵于 $\mathrm{diag}\{1,\cdots,1,g(\lambda);1,\cdots,1,h(\lambda)\}$ . 由复旦高代教材第 265 页引理 7.4.2 知 $\lambda I-A$ 相抵于 $\lambda I-B$ , 从而由复旦高代教材第 255 页定理 7.1.2 知 $A$ 相似于 $B=\mathrm{diag}\{C,D\}$ .

因为 $A$ 是 $\varphi$ 在某组基下的表示矩阵, 于是存在另一组基 $\{\beta_1,\cdots,\beta_p;\gamma_1,\cdots,\gamma_q\}$ , 使得 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为 $B=\mathrm{diag}\{C,D\}$ . 令 $\beta=\beta_1$ , $\gamma=\gamma_1$ . 由于 $C,D$ 也是形如 (2) 式那样的友阵, 不难验证

L (β, φ (β), ?) = L (β 1, ?, β p); L (γ, φ (γ), ?) = L (γ 1, ?, γ q),

$L(\beta,\varphi(\beta),\cdots)=L(\beta_1,\cdots,\beta_p);\,\,L(\gamma,\varphi(\gamma),\cdots)=L(\gamma_1,\cdots,\gamma_q),$ 因此

V = L (β, φ (β), ?) \oplus L (γ, φ (γ), ?) . □

$V=L(\beta,\varphi(\beta),\cdots)\oplus L(\gamma,\varphi(\gamma),\cdots). \quad\Box$

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原文：http://www.cnblogs.com/torsor/p/3659954.html

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