AffineTransform（仿射变换）

一个任意的仿射变换都能表示为 乘以一个矩阵 (线性变换) 接着再 加上一个向量 (平移)。 我们能够用仿射变换来表示:

• 旋转 (线性变换)
• 平移 (向量加)
• 缩放操作 (线性变换)

我们通常使用 2 x 3 矩阵来表示仿射变换(以下需要一些线性代数的知识)。

用矩阵A和B对二维向量X做变换，那上式也可表示为

单位矩阵，主对角线为1，其他都为0的矩阵

CGAffineTransform官方定义

struct CGAffineTransform {
    CGFloat a, b, c, d;
    CGFloat tx, ty;
};

虽然结构体中只有a,b,c,d,tx,ty 6个参数，但其实还有3个固定的参数[0,0,1]来组成3x3的矩阵。

PS:anchorPoint定义了应用变换的坐标系的原点。

仿射变换表示为一个3x3的矩阵如下:

对于一个CGPoint(x, y), 经过以上仿射变换后为（x’, y’）,可表示为

即公式(1):

identity矩阵

/* The identity transform: [ 1 0 0 1 0 0 ]. */
CG_EXTERN const CGAffineTransform CGAffineTransformIdentity
  CG_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_0, __IPHONE_2_0);

identity矩阵可以表示为

代入公式（1），的得到

整理后得到

identity仿射矩阵计算后的坐标也就是坐标自己本身。

CGAffineTransformMakeTranslation方法

/* Return a transform which translates by `(tx, ty)‘:
     t‘ = [ 1 0 0 1 tx ty ] */

CG_EXTERN CGAffineTransform CGAffineTransformMakeTranslation(CGFloat tx,
  CGFloat ty) CG_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_0, __IPHONE_2_0);

CGAffineTransformMakeTranslation是一个进行平移的方法，根据注释得到的矩阵为

代入公式（1），的得到

整理后得到

CGAffineTransformMakeTranslation也就是所对原来坐标进行一个平移的操作，在x轴方向上移动tx，在y轴方向上移动ty。

CGAffineTransformMakeScale方法

/* Return a transform which scales by `(sx, sy)‘:
     t‘ = [ sx 0 0 sy 0 0 ] */

CG_EXTERN CGAffineTransform CGAffineTransformMakeScale(CGFloat sx, CGFloat sy)
  CG_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_0, __IPHONE_2_0);

CGAffineTransformMakeScale是一个进行缩放的方法，根据注释得到的矩阵为

代入公式（1），的得到

整理后得到

CGAffineTransformMakeScale方法在x轴上缩放sx，在y轴上缩放sx

CGAffineTransformMakeRotation方法

/* Return a transform which rotates by `angle‘ radians:
     t‘ = [ cos(angle) sin(angle) -sin(angle) cos(angle) 0 0 ] */

CG_EXTERN CGAffineTransform CGAffineTransformMakeRotation(CGFloat angle)
  CG_AVAILABLE_STARTING(__MAC_10_0, __IPHONE_2_0);

CGAffineTransformMakeRotation是一个进行旋转的方法，根据注释得到的矩阵为

1、证明x‘和y‘构成圆方程

代入公式（1），的得到

整理后得到

两边都平方，得到

两式左右都相加得到

化简后得到

直接就是圆的方程，这只是证明x’ 与 y’在变换后任然在与x 和 y 在以(0,0)为圆心的圆上。

2、真正的推导过程

根据上图用三角函数表示公式(1)

CGAffineTransformMakeRotation方法用来计算出原来点(x,y)旋转α°之后的(x‘,y‘)，即将原来的旋转α°。也就是将view或者layer以anchorPoint为中心点旋转α°

AffineTransform（仿射变换）

原文：http://www.cnblogs.com/sungk/p/5171077.html