陶哲轩 实分析 第二小节 习题

最近从网上下载到了陶哲轩写的实分析，确实是本好书。不过所有的习题都没有给出答案。我试着自己做一遍习题，整理一份习题解答。

2.2.1 证明自然数加法是结合的 (a + b) + c = a + (b + c)

数学归纳法

$a = 0$ 时，

左边：

$$(0 + b) + c = b + c$$

右边：

$$0 + (b + c) = b + c$$

左边 = 右边

假设当 $a = n$ 时，$(n + b) + c = n + (b + c)$ 成立

则，当 $a = n++$ 时

$$\begin{align} ((n++) + b) + c &= ((n + b)++) + c \ &= ((n + b) + c) ++ \ &= (n + (b + c))++ \ &= (n++) + (b + c) \end{align}$$

证毕

2.2.2 设 a 是一个正数，那么恰存在一个自然数 b，使得 (b++) = a

数学归纳法

$a = 1$ 时 $b = 0$

假设 $a = n$ 时， $(b++) = a$ 成立

则当 $a = n++$ 时， $b = n$ 满足 $(b++) = a$

证毕

2.2.3 自然数序的基本性质

(a) $a \geq a$ （序是自反的）

$$a + 0 = a$$
证毕

(b) $a \geq b$ 且 $b \geq c$ 则 $a \geq c$ （序是传递的）

$$a + m_1 = b \ b + m_2 = c$$

所以

$$(a + m_1) + m_2 = c \ a + (m_1 + m_2) = c$$

所以 $a \geq c$

证毕

(c) 若 $a \geq b$ 且 $b \geq a$ 则 $a = b$ （序是反对称的）

$$a + m_1 = b \b + m_2 = a \a + m_1 + m_2 = a$$

所以 $m_1 + m_2 = 0$

所以 $m_1 = 0$, $m_2 = 0$

所以 $a = b$

(d) $a \geq b$ 当且仅当 $a + c \geq b + c$ （加法保序）

先证明 $a \geq b \Longrightarrow a + c \geq b + c$

数学归纳法

$c = 0$ 时， $a + 0 \geq b + 0$ 显然成立

假设 $c = n$ 时， $a + n \geq b + n$ 成立

当 $c = n++$ 时

$$\begin{align} a + (n++) + m &= ((a + n)++) + m \&= ((a + n) + m)++ \&= (b + n)++ = b + n++ \end{align}$$

所以

$$a + (n++) \geq b + (n++)$$

证毕

再证明 $a + c \geq b + c \Longrightarrow a \geq b$

$$a + c + m = b + c \a + m = b \a > b$$

(e) $a < b$ 当且仅当 $a++ \leq b$

先证明 $a < b \Longrightarrow a++ \leq b$

$a < b$ 表明 $a + m = b$ 且 $a \neq b$, $m \neq 0$

由于 $m \neq 0$ 所以

$$m = (n++) \a + (n++) = b \(a++) + n = b$$
所以 $a \leq b$

再证明 $a++ \leq b \Longrightarrow a < b$

$$(a++) + m = b\a + (m++) = b$$
所以 $a++ \leq b$

因为 $m++ \neq 0$ 所以 $a \neq b$

(f) a < b 当且仅当对某个正数 d，b = a + d

先证明 $a < b \Longrightarrow b = a + d$

$a < b$ 所以

$$a + d = b\d \neq 0$$

所以 $d$ 是正数

$$b = a + d$$

再证明 $b = a + d \Longrightarrow a < b$

$$b = a + d \Longrightarrow a \leq b$$

由于 $d \neq 0$， 所以 $b \neq a$， 所以 $a < b$

证毕

2.2.4 验证命题 2.2.13 的三个子命题

(1) 证明 $0 \leq b$ 对于一切 $b$ 成立

因为：$0 + b = b$
所以 : $0 \leq b$
证毕

(2) 若 $a > b$ 证明 $a++ > b$

若 $a > b$，则有 $a = b + m$，且 $m \neq 0$

$$a++ = (b + m)++ = b + m++ \a++ > b$$
证毕

(3) 若 $a = b$ 则 $a++ > b$

因为：$a = b$
所以：$(a++) = (b++) = b + 1$
所以：$a++ > b$
证毕

2.2.5 证明命题 2.2.14

前提：若 $P(m‘)$ 对于一切 $m_0 \leq m‘ < m$ 成立，则 $P(m)$ 也成立。
证明：$P(m)$ 对于一切 $m_0 \leq m$ 都成立。

定义一个性质 $Q(n)$ ，当命题 $P(m)$ 对于一切 $m_0 \leq m < n$ 成立时为真，否则为假。

在 $P(m‘)$ 对于一切 $m_0 \leq m‘ < m$ 成立 这个前提成立的情况下 $Q(m_0)$ 为真，$P(m_0)$ 为真。
假设当 $n = n‘ > m_0$ 时， $Q(n‘)$ 成立，也就是说 $P(m)$ 对于一切 $m_0 \leq m < n’$ 成立。由前提，可知 $P(n’)$ 也成立。

所以： $P(m)$ 对于一切 $m_0 \leq m < n‘+ 1$ 成立。也就是说 $Q(n‘+1)$ 成立。

所以 $Q(n)$ 对于一切的 $n > m_0$ 成立。
所以 $P(n-1)$ 对于一切的 $n > m_0$ 成立。
所以$P(n)$ 对于一切的 $n > m_0$ 成立。

证毕

2.2.6 证明向后归纳原理

条件：若 $P(m++)$ 成立，则 $P(m)$ 成立。
命题：若 $P(n)$ 成立，则对于一切 $m \leq n$，$P(m)$ 成立。

数学归纳法：

当 n = 1 时。若 $P(1)$ 成立，由条件可知 $P(0)$ 成立。
所以 $P(1)$ 成立时对一切的$m \leq 1$ 有，$P(m)$ 成立，命题是成立的。

假设当 $n = n‘$ 时，命题成立，即 $P(n‘)$成立可推导出对一切的 $m \leq n‘$ 都有 $P(m)$ 成立。

那么当 $n=n‘+1$ 时，$P(n‘+1)$ 成立，由条件可得 $P(n‘)$ 成立。由上面假设，对一切的 $m\leq n‘$ 都有 $P(m)$成立，再加上$P(n‘+1)$ 成立，就有对一切的 $m\leq n′+1$ 都有 $P(m)$成立。

所以对于一切的 $n$，命题都成立。