Necklace of Beads(polya)

Polya定理：

       设G是一个p个对象的置换群，那么用k种颜色对p个对象进行染色！当一种方案在群G的作用下变为另外一种方案，那么我们这个时候就认为这两个方案是一样的。那么在这种规定下不同的染色方案为：

n=(Ek^m(f))/|G|，其中m(f)是置换f的循环节。

       Polya定理是基于Burnside定理和另外一个定理的，其中Burnside定理的通俗表达方法如下：

      1）如果令C(f)表示在置换f的作用下，本质不变的着色方案数！那么可以证明的是“本质不同的着色方案数就是所有置换f下的C(f)的平均数”。

       在Burnside的基础上，我们在介绍一个定理：

       2）如果使用k种颜色给有限集合S着色，那么对于一个置换f，在该置换下本质不变的着色方案数就是C(f)=k^(m(f))，其中m(f)是置换f的循环节数。

       基于上面的1）2）两个定理，便很明显的得到Polya定理。

#include <cstdio>
__int64 m[24];
void list()
{
    m[0] = 1;
    for(int i = 1; i < 24; ++i)
        m[i] = m[i - 1]*3;
}
int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    int n;
    __int64 ans;
    list();
    scanf("%d",&n);
    while(n != -1)
    {
        ans = 0;
        if(n == 0)
        {
            printf("%I64d\n",ans);
            scanf("%d",&n);
            continue;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            ans += m[gcd(i,n)];
        if(n % 2 == 0)
            ans += (m[n/2] + m[n/2 + 1])*n/2;
        else
            ans += n*m[(n + 1)/2];
        printf("%I64d\n",ans/(n * 2));
        scanf("%d",&n);
    }
    return 0;
}

Necklace of Beads(polya)

原文：http://www.cnblogs.com/You-Change/p/3531126.html