关于极限证明方法的专题讨论

时间：2014-04-18 16:18:15 阅读：348 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

定义法

$\bf命题1：$设$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加的数列,则

lim n \to \infty a n = S u p k \geq 1 {a k}

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}$
证明：记

M = S u p k \geq 1 {a k}

$M = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}$
$\left( 1 \right)$当$M < + \infty $时,由上确界的定义知,对任给$\varepsilon > 0$,存在${a_N}$,使得

M ? ε < a N \leq M

$M - \varepsilon < {a_N} \le M$
由于$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加数列,则当$n > N$时,有

M ? ε < a N \leq a n \leq M < M + ε

$M - \varepsilon < {a_N} \le {a_n} \le M < M + \varepsilon$
从而由数列极限的定义即证

$\left( 2 \right)$当$M = + \infty $时,由上确界的定义知,对任给$\varepsilon > 0$,存在${a_N}$,使得

a N > ε

${a_N} > \varepsilon$
由于$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加数列,则当$n > N$时,有

a n \geq a N > ε

${a_n} \ge {a_N} > \varepsilon$
从而由数列极限的定义即证

夹逼原理

$\bf命题1：$任何实数都是某个有理数列的极限

证明：设$A$为实数,若$A$为有理数,则令

a n = A, n \in N +

${a_n} = A,n \in {N_ + }$
即可,若$A$为无理数,则令

a n = [ n A ] n, n \in N +

${a_n} = \frac{{\left[ {nA} \right]}}{n},n \in {N_ + }$
其中${\left[ x \right]}$表示不超过$x$的最大整数,因此${a_n}$都是有理数.而$A$为无理数,则

n A ? 1 < [n A] < n A, n \in N +

$nA - 1 < \left[ {nA} \right] < nA,n \in {N_ + }$ 即

A ? 1 n < a n < A, n \in N +

$A - \frac{1}{n} < {a_n} < A,n \in {N_ + }$ 从而由夹逼原理即证

$\bf命题2：$设$f\left( x \right)$在$\left( {0,1} \right)$上单调,且无界广义积分$\int_0^1 {f\left( x \right)dx} $收敛,则

lim n \to \infty f ( 1 n ) + f ( 2 n ) + ? + f ( n ? 1 n ) n = \int 10 f (x) d x

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f\left( {\frac{1}{n}} \right) + f\left( {\frac{2}{n}} \right) + \cdots + f\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right)}}{n} = \int_0^1 {f\left( x \right)dx}$
证明：我们不妨只讨论$f\left( x \right)$单调增加的情况,则有不等式

\int 1 ? 1 n 0 f (x) d x \leq f ( 1 n ) + f ( 2 n ) + ? + f ( n ? 1 n ) n \leq \int 1 1 n f (x) d x

$\int_0^{1 - \frac{1}{n}} {f\left( x \right)dx} \le \frac{{f\left( {\frac{1}{n}} \right) + f\left( {\frac{2}{n}} \right) + \cdots + f\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right)}}{n} \le \int_{\frac{1}{n}}^1 {f\left( x \right)dx}$
令$n \to \infty $,则由夹逼原理即证

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原文：http://www.cnblogs.com/ly142857/p/3672832.html

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