设 f 在 D=\sed{z\in\bbC;\ |z|\leq 1} 上除点 z_0\in D 外处处解析, 且满足
(1) 在 D 内 f 没有零点;
(2) z\in \p D\ra f(z)\in \p D ;
(3) z_0 是 f 的一阶极点.
证明: \bex \exists\ \tt\in \bbR,\st f(z)=e^{i\tt}\cfrac{1-\bar z_0z}{z-z_0}. \eex
证明: 记 \bex \phi(\zeta)=\cfrac{z_0-\zeta}{1-\bar z_0\zeta},\quad F=f\circ \phi, \eex 则 \phi^{-1}=\phi . 由 (1) 及 (3), \cfrac{1}{F(\zeta)} 在 D 内解析, 且以 0 为一阶零点. 再据 (2) 及边界对应定理, \cfrac{1}{F(z)}:D\to D . 由 Schwarz 引理 (及其证明), \beex \bea \exists\ \tt\in\bbR,\st \cfrac{1}{F(\zeta)}&=e^{-i(\tt+\pi)}\zeta,\\ f(\phi(\zeta))&=e^{-i(\tt+\pi)}\zeta,\\ f(z)&=e^{i(\tt+\pi)}\cfrac{1}{\phi(z)} =-e^{i\tt}\cfrac{1-\bar z_0z}{z_0-z} =e^{i\tt}\cfrac{1-\bar z_0z}{z-z_0}. \eea \eeex
[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [苏州大学数学专业考研复试试题] 解析函数有特定表达式的一个充分条件),布布扣,bubuko.com
[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [苏州大学数学专业考研复试试题] 解析函数有特定表达式的一个充分条件)
原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3677207.html