怎么来理解伽玛（gamma）分布？

Gamma分布即为多个独立且相同分布（iid）的指数分布变量的和的分布。
（最新修改，希望能够行文布局更有逻辑）

——————泊松过程——————
指数分布和泊松分布的关系十分密切，是统计学中应用极大的两种分布。
其中泊松过程是一个显著应用。

泊松过程是一个计数过程，通常用于模拟一个（非连续）事件在连续时间中发生的次数。
为一个泊松过程，则其满足三个性质：
①（t=0时什么都没发生）

②（增量）之间互相独立：
扩展补充：与互相独立，且在计数过程中


这是因为




③
即
根据增量独立性，易知其成立。

——————泊松→指数——————
假设为第次事件与第次事件的间隔时间。

所以


所以

即泊松过程的事件间隔时间为指数分布。

——————指数→Gamma—————
再令，即从头开始到第次事件的发生的时间，该随机变量分布即为Gamma分布。
即。
Gamma分布即为多个独立且相同分布（iid）的指数分布变量的和的分布。

——————证明——————
假设且互相独立

①Moment Generating Function（MGF）：
MGF的定义为
则
其性质为

下证：


则
为Gamma分布的MGF。
MGF:Moment-generating function

②数学归纳法：
已知
所以当时成立。
假设时成立
当时，

其中






为的pdf。证毕。

当然，Gamma分布与Beta，Chi-square分布也有着十分紧密的联系，不过在统计学应用中都不如与指数分布的联系来得重要。

作者：T Yuan
链接：https://www.zhihu.com/question/34866983/answer/60541847
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。