无论哪种还款方式：
月还款额 = 当月应还本金 + 当月应还利息
当月应还利息 = 上月剩余本金 × 月利率
当月剩余本金 = 上月剩余本金 - 当月还款本金
等额本金还款方式
每次还款的本金相同
当月利息 = 上月剩余本金 × 月利率
记:
借款总额=a
月利率=r
借款期数=t
则
月还本金mp = a/t
第i次还款的计息本金 = a - (i - 1)a/t = a(t - i + 1)/t，i取值为1...n
月还利息mi = ar(t - i + 1)/t
总利息 = m1 + ... + mn = ar(t + ... + 1) = ar(t + 1)/2
等额本息还款方式
每个月的还款额固定，但还款的利息比重逐渐减小，本金的还款额逐月增加
记
借款总额=a
月利率=r
借款期数=t
每月应还本息为=m
则
第1期应还的利息x1 = ar
第1期应还本金p1 = m - ar
第1期剩余本金q1 = a - p1 = a - (m-ar) = a(1 + r) - m
第2期应还的利息x2 = q1r
第2期应还本金p2 = m - x2 = m - q1r
第2期剩余本金q2 = q1 - p2 = q1 - (m - q1r) = q1(1+r) - m = [a(1 + r) - m](1+r) - m = a(1 + r)2 - [1 + (1 + r)]m
第3期应还的利息x3 = q2r
第3期应还本金p3 = m - x3 = m - q2r
第3期剩余本金q3 = q2 - p3 = q2 - (m - q2r) = q2(1+r) - m = {a(1 + r)2 - [1 + (r + 1)]m}(1+r) - m = a(1 + r)3 - [1 + (1 + r) + (1 + r)2]m
猜想
qn = a(1 + r)n -[1 + (1 + r) + (1 + r)2 + ... + (1 + r)n-1]
证明:
第n期应还的利息xn = qn-1r
第n期应还本金pn = m - xn = m - qn-1r
第n期剩余本金qn = qn-1 - pn = qn-1 - (m - qn-1r) = qn-1(1+r) - m
即
qn = qn-1(1 + r) - m ①
qn-1 = qn-2(1 + r) - m ②
qn-2 = qn-3(1 + r) - m ③
...
q3 = q2(1 + r) - m ④
q2 = q1(1 + r) - m ⑤
q1 = a(1 +r ) - m ⑥
②两边同乘以 (1 + r)，③两边同乘以(1 + r)2， .... ⑥两边同乘以(1 + r)n-1，得
qn = qn-1(1 + r) - m
(1 + r)qn-1 = qn-2(1 + r)2 - m(1 + r)
(1 + r)2qn-2 = qn-3(1 + r)3 - m(1 + r)2
...
(1 + r)n-3q3 = q2(1 + r)n-2 - m(1 + r)n-3
(1 + r)n-2q2 = q1(1 + r)n-1 - m(1 + r)n-2
(1 + r)n-1q1 = a(1 +r )n - m(1 + r)n-1
两边相加，得
qn = a(1+r)n - m[1 + (1+r) + (1 + r)2 + .. + (1 + r)n-1]
= a(1+r)n -m(1 - (1+r)n)/(1 - (1+r))
由于qn = 0, 则每月还款本息
m = ar(1 + r)n/[(1 + r)n - 1]
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