图的基本算法(最小生成树)

假设以下情景，有一块木板，板上钉上了一些钉子，这些钉子可以由一些细绳连接起来。假设每个钉子可以通过一根或者多根细绳连接起来，那么一定存在这样的情况，即用最少的细绳把所有钉子连接起来。
更为实际的情景是这样的情况，在某地分布着N个村庄，现在需要在N个村庄之间修路，每个村庄之前的距离不同，问怎么修最短的路，将各个村庄连接起来。
以上这些问题都可以归纳为最小生成树问题，用正式的表述方法描述为：给定一个无方向的带权图G=(V, E)，最小生成树为集合T,T是以最小代价连接V中所有顶点所用边E的最小集合。 集合T`中的边能够形成一颗树，这是因为每个节点（除了根节点）都能向上找到它的一个父节点。

解决最小生成树问题已经有前人开道，Prime算法和Kruskal算法，分别从点和边下手解决了该问题。

Prime算法

Prim算法是一种产生最小生成树的算法。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。

Prim算法从任意一个顶点开始，每次选择一个与当前顶点集最近的一个顶点，并将两顶点之间的边加入到树中。Prim算法在找当前最近顶点时使用到了贪婪算法。

算法描述：
1. 在一个加权连通图中，顶点集合V，边集合为E
2. 任意选出一个点作为初始顶点,标记为visit,计算所有与之相连接的点的距离，选择距离最短的，标记visit.
3. 重复以下操作，直到所有点都被标记为visit：
在剩下的点钟，计算与已标记visit点距离最小的点，标记visit,证明加入了最小生成树。

下面我们来看一个最小生成树生成的过程：
1 起初，从顶点a开始生成最小生成树

2 选择顶点a后，顶点啊置成visit（涂黑）,计算周围与它连接的点的距离：

3 与之相连的点距离分别为7,6,4，选择C点距离最短，涂黑C，同时将这条边高亮加入最小生成树：

4 计算与a,c相连的点的距离（已经涂黑的点不计算），因为与a相连的已经计算过了，只需要计算与c相连的点，如果一个点与a,c都相连，那么它与a的距离之前已经计算过了，如果它与c的距离更近，则更新距离值，这里计算的是未涂黑的点距离涂黑的点的最近距离，很明显，b和a为7，b和c的距离为6，更新b和已访问的点集距离为6，而f,e和c的距离分别是8,9，所以还是涂黑b,高亮边bc：

5 接下来很明显，d距离b最短，将d涂黑，bd高亮：

6 f距离d为7，距离b为4，更新它的最短距离值是4，所以涂黑f，高亮bf：

7 最后只有e了：

针对如上的图,代码实例如下：

#include<iostream>
#define INF 10000
using namespace std;
const int N = 6;
bool visit[N];
int dist[N] = { 0, };
int graph[N][N] = { {INF,7,4,INF,INF,INF},   //INF代表两点之间不可达
                    {7,INF,6,2,INF,4}, 
                    {4,6,INF,INF,9,8}, 
                    {INF,2,INF,INF,INF,7}, 
                    {INF,INF,9,INF,INF,1}, 
                    {INF,4,8,7,1,INF}
                  };
int prim(int cur)
{
    int index = cur;
    int sum = 0;
    int i = 0;
    int j = 0;
    cout << index << " ";
    memset(visit, false, sizeof(visit));
    visit[cur] = true;
    for (i = 0; i < N; i++)
        dist[i] = graph[cur][i];//初始化，每个与a邻接的点的距离存入dist
    for (i = 1; i < N; i++)
    {
        int minor = INF;
        for (j = 0; j < N; j++)
        {
            if (!visit[j] && dist[j] < minor)          //找到未访问的点中，距离当前最小生成树距离最小的点
            {
                minor = dist[j];
                index = j;
            }
        }
        visit[index] = true;
        cout << index << " ";
        sum += minor;
        for (j = 0; j < N; j++)
        {
            if (!visit[j] && dist[j]>graph[index][j])      //执行更新，如果点距离当前点的距离更近，就更新dist
            {
                dist[j] = graph[index][j];
            }
        }
    }
    cout << endl;
    return sum;               //返回最小生成树的总路径值
}
int main()
{
    cout << prim(0) << endl;//从顶点a开始
    return 0;
}

Kruskal

Kruskal是另一个计算最小生成树的算法，其算法原理如下。首先，将每个顶点放入其自身的数据集合中。然后，按照权值的升序来选择边。当选择每条边时，判断定义边的顶点是否在不同的数据集中。如果是，将此边插入最小生成树的集合中，同时，将集合中包含每个顶点的联合体取出，如果不是，就移动到下一条边。重复这个过程直到所有的边都探查过。

下面还是用一组图示来表现算法的过程：