$\bf命题1：$设$A,B \in {M_n}\left( F\right)$且矩阵$A$各特征值互异，若$AB=BA$，则
$(1)$$A,B$可同时相似对角化
$(2)$$A,B$有公共的特征向量
$(3)$存在唯一的次数不超过$n-1$的多项式$f\left( x \right) \in F\left[ x
\right]$，使得$B=f(A)$
证明：$(1)$由矩阵$A$各特征值互异知，存在可逆阵$R$，使得
其中${{\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}}$为$A$互异的特征值
由$AB=BA$知，${R^{ - 1}}AR \cdot {R^{ - 1}}BR = {R^{ - 1}}BR \cdot {R^{ -
1}}AR$，从而可知
即$A,B$可同时相似对角化
$(2)$由$(1)$知，存在可逆阵$R = \left( {{\alpha _1}, \cdots ,{\alpha _n}}
\right)$，使得
AR=Rdiag(λ
1,?,λn),BR=Rdiag(μ1,?,μn)
即
Aαi=λiαi,Bαi=μiαi,i=1,2,?,n
$(3)$由于
??B=a0E+a1A+a2A2+?+an?1An?1R?1BR=a0E+a1(R?1AR)+a2(R?1AR)2+?+an?1(R?1AR)n?1?????a0λ1+a1λ1+a2λ12+?+an?1λ1n?1=μ1?a0λn+a1λ1+a2λn2+?+an?1λnn?1=μn
而上述线性方程组的系数矩阵的$\bf{Vandermonde行列式}
D=
\prod\limits_{1 \le j < i \le n} {\left( {{\lambda _i} - {\lambda _j}}
\right)} \ne 0$，故存在唯一解${{a_0},{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_{n -
1}}}$，即存在唯一的多项式$f\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \cdots + {a_{n
- 1}}{x^{n - 1}}$满足$B=f(A)$
$\bf命题2：$设$A,B \in {M_n}\left(
F\right)$且$A,B$均可对角化，若$AB=BA$，则$A,B$可同时相似对角化
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原文：http://www.cnblogs.com/ly142857/p/3683207.html
