《Mathematical Olympiad——组合数学》——染色问题

  问题一：

  将一些石头放入10行14列的矩形方格表内，允许在每个单元格内放入石头的数目多于1块，然后发现每一行每一列上均有奇数块石头。若将矩形方格表上的单元格相间地染为黑色和白色，证明：在黑色单元格上石头的数目共有偶数块。

  分析：我们考虑利用反证法来完成证明。即黑色单元格上的石头数目共有奇数块。

  我们先假设该矩形方格奇行奇列、偶行偶列是黑色，并设奇行奇列有k1个奇数个石子的格子，偶行偶列有k2个奇数个石子的格子，奇行偶列有k3个奇数个的格子。

  由每一行共有奇数块石头，共有10行，有5个奇数行，可知奇数行的石子数目是奇数，有k1 + k3  ≡ 1(mod 2) ①

  类似的，由每一列共有奇数块石头，共有14列，共有7个偶数列，可是偶数列的石头数目是奇数，有k3 + k2 ≡1(mod 2) ②

  基于反证过程的假设，即k1 + k2 ≡ 1(mod 2) ③

  ①+②+③,有2(k1+k2+k3) ≡ 1(mod 2)，显然是不可能的，因此假设是不成立的。

  同样的如果我们假设矩阵方格奇行偶列、偶行奇列是黑色，做相同的分析，在设置变量的时候需要作出相应的改动，便可以得到相同的结论。

  证毕。