OpenGL学习脚印: 向量和矩阵要点(math-vector and matrices)

写在前面
前面几节内容环境搭建,绘制三角形,以及使用索引绘制,让我们对现代OpenGL中绘图做了简单了解。要继续后面的部分，需要熟悉OpenGL中涉及的数学知识。因此本节开始介绍OpenGL中的基本数学。

介绍这部分内容的主旨在于对OpenGL涉及的数学有个整体把握，重点把握一些概念在OpenGL中的应用。内容尽量以例子形式说明，仅在必要时会给出数学证明。一个主题往往涉及过多内容，对于文中省略的部分，请参考相应的教材。

通过本节可以了解到

• 向量基本概念和操作
• 矩阵的基本概念和操作
• GLM数学库

向量的概念

向量是研究2D、3D数学的标准工具。向量V是一个既有大小又有方向的量（联系位移和速度的概念）。在数学上，常用一条有方向的线段来表示向量。例如下图n维空间的向量$v=\vec{AB}=(v_{1},v_{2},...,v_{n})$如下图所示，向量起点为A，终点为B：

理解向量把握:
1.向量的大小就是向量的长度（模）。向量的长度非负。
2.向量的方向描述了向量的指向。
3.向量是没有位置的，与点是不同的。
4.向量与标量不同，变量是只有大小而没有方向的量，例如位移是向量，而距离是标量。

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零向量与单位向量

向量的长度即模，定义为:
$|v|=\sqrt{v_{1}^2 + v_{2}^2+\cdots+v_{n}^2}$
即 $|v|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}v_{i}^2}$

模等于0的向量成为0向量，模等于1的向量叫做单位向量。注意零向量的方向是任意的。
由一个向量v求与它同方向的单位向量过程称为标准化(normalization）,这个单位向量成为标准化向量(normalized vector)。计算过程为:
$v_{norm}=\frac{v}{| v|},v \neq 0$

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三角形法则和平行四边形法则

两个向量$a$和$b$，当将b的起点放在a的终点，连接a的起点和b的终点的向量成为向量$a$,$b$之和，记为:$c=a+b$,如下图所示(图片来自:mathinsight):

物理上力学求和经常使用平行四边形法则，表达的是向量加法运算的结合律，即:$a+b = b+a$,如下图所示(图片来自:mathinsight):

与一个向量$a$大小相同，方向相反的向量，称为向量$a$的负向量，两者相加得到零向量，即:
$a+(-a)=0$

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向量夹角

两个非零向量的夹角规定为不超过$\pi$的角度$\theta$,即
$0 \leq \theta \leq \pi$
如下图所示:

注意这个夹角的范围。当$\theta = \frac{\pi}{2}$称两个向量a与b垂直，当$\theta = 0或者\pi$时，称向量a与b平行。

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向量点积(dot product)

向量点积，也称为向量的数量积，点积的结果是一个标量，其定义为:
$A.B=|A||B|cos\theta\tag{1}$
其中$\theta$表示向量A和B之间的夹角。

向量点积的几何意义

要理解点积的几何意义，首先了解概念向量在轴上的投影(scalar projection )，这个投影计算得到一个标量。向量A在B上的投影定义为:
$A_{B}=|A|cos\theta\tag{2}$
如下图所示(来自wiki dot product):

则1式可以写为:
$A.B = |A|B_{A} = |B|A_{B}\tag{3}$

在空间几何中，例如n空间中，向量的坐标表示为:
$A=(a_{1}, b_{2},\cdots,c_{n})$，$B=(b_{1},b_{2},\cdots, b_{n})$,
则两个向量的点积可以表示为:

$$\begin{align} A.B &= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n} \ &= \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \tag{4} \end{align}$$

向量点积的应用
向量点积的一个重要应用在于，可以快速求出两个向量的夹角余弦。
由公式1可知，两个向量的夹角余弦计算公式为:

$cos\theta = \frac{a.b}{|a||b|}\tag{5}$

当a和b都是单位向量时，两单位向量的夹角余弦值为:
$cos\theta = a.b\tag{6}$
公式6能快速计算出两个单位向量的夹角余弦，在计算光照时经常使用。
另外当一个向量为单位向量时:
$|a|^{2}=a \cdot a \tag{7}$
这个公式也是经常使用的。

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向量的叉积(cross product)

两个向量a和b的叉积，结果是一个向量$c=a \times b$，c的方向垂直于a和b，它需要根据右手规则来确定(下文讲解)；c的大小等于
$|c|=|a||b|sin\theta\tag{8}$
叉积如下图所示(来自wiki):

注意c的方向需要根据右手规则来确定。所谓右手规则是指，将向量a与b放在同一个起点时，当右手的四个手指从a所指方向转到b所指方向握拳时，大拇指的指向即为$a \times b$的方向。如下图所示(来自cross product):

尤其要注意 $a\times b \neq b \times a$事实上，
$a \times b = - b \times a\tag{9}$
在利用以坐标形式表示向量a和b时，在3D空间中，叉积的结果用矩阵表示为(矩阵下文介绍):

$$\begin{align} c &= a \times b \\ &= \begin{bmatrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{bmatrix} \ &= \begin{bmatrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{bmatrix}i- \begin{bmatrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{bmatrix}j+ \begin{bmatrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{bmatrix}k \ &=\begin{bmatrix} a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y} \\ a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z} \\ a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\end{bmatrix} \tag{10} \end{align}$$
叉积的几何意义
叉积的模可以视为以a和b为两边的平行四边形的面积，如下图所示(来自wiki):

其中$|b|sin\theta$可以视为平行四边形的高，计算后$a\times b$的模即为平行四边形的面积。
叉积的应用
在OpenGL图形编程中，叉积经常在已知两个方向时，用来确定第三个方向。例如已知相机的朝向dir和侧向量side，则相机的顶部向量为: $up = dir \times side$，后面再介绍相机矩阵时会用到。

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投影向量的计算

一个向量a在另一向量b上的投影向量，包括与b平行的部分$a_{1}$和与b垂直的部分$a_{2}$。$a_{1}$即是之前提到的scalar projection，不过这里$a_{1}$是一个向量。具体过程如下图所示:

右图可知与b平行分量$a_{1}$可计算为:

$$\begin{align} a_{1} &=|a_{1}| \frac{b}{|b|} \\ &=|a|cos\theta \frac{b}{|b|} \&=\frac{(|a||b|cos\theta)b}{|b|^{2}} \& = \frac{a \cdot b}{|b|^{2}}b \tag{11} \end{align}$$
垂直分量$a_{2}$计算为:
$a_{2}=a - a_{1}=a- \frac{a \cdot b}{|b|^{2}}b \tag{12}$

投影向量的应用
投影向量的计算过程，是一个向量分解的过程，这种向量分解的思路在后面推导其他内容时很有帮助，例如求解后面的物体旋转矩阵时会派上用场。

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矩阵的概念

矩阵从形式上就是一个数字表，以行和列的形式呈现，简单的矩阵如下图所示:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$
矩阵的行数m和列数n可以不相同，m行n列矩阵记为矩阵$A_{m \times n}$。当行数和列数相等时，m= n ,矩阵A也称为n阶方阵。例如下图给出了3x4矩阵$A_{3 \times 4}$的抽象表示:

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行向量和列向量

对于1xn的矩阵，我们称之为行向量，nx1的矩阵称为列向量。一般可以用列向量表示空间中的向量(以行向量表示也可以)，例如上面的向量$a=(a_{x},b_{y},c_{z})$可以用列向量表示为:
$a=\begin{bmatrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z}\end{bmatrix}$

注意 OpenGL编程中习惯用列向量表示点或者向量。矩阵在内存中以列优先存储，但是具体传递参数时，一般函数提供了是否转置的布尔参数来调整存储格式。例如void glUniformMatrix4fv函数提供了布尔变量 GLboolean transpose 来表示是否转置矩阵。

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零矩阵和n阶单位阵

mxn矩阵，如果所有元素都为0，则成为零矩阵。
对于一个n阶方阵，如果主对角线元素全为1，其余元素都为0则称为n阶单位阵。对于一个矩阵$A_{m \times n}$，存在单位阵满足:$I_{m}A=AI_{n}=A$.
任意矩阵$A_{m \times n}$与对应的零矩阵$B_{n \times p}$相乘得到零矩阵。

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矩阵转置

转置操作即是将矩阵的行和列互换，即原矩阵$A$的第一行变为转置矩阵$A^{T}$的第一列，原矩阵$A$的第二行变为转置矩阵$A^{T}$的第二列，其他部分依次类推。
例如矩阵

$$\begin{align*} A=\left[ \begin{array}{rrr} 1&2&3\\4&5&6 \end{array} \right] \end{align*}$$
则其转置矩阵为:
$$\begin{align*} A^T=\left[ \begin{array}{rr} 1&4\\2&5\\3&6 \end{array} \right]. \end{align*}$$

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矩阵的运算

矩阵加减法

两个矩阵A和B要能执行加减法，必须是行和列数目相等的，计算过程，即对应的元素相加($A_{ij}+B_{ij}$)或者相减($A_{ij}-B_{ij}$)，如下图所示:

标量和矩阵乘法

用一个数k乘以矩阵A，结果为矩阵A中每个元素乘以数k。例如:

矩阵和矩阵乘法

两个矩阵$A_{m \times n}$和$B_{n \times p}$要执行乘法操作，需要满足: 左边矩阵的列数和右边矩阵的行数相等，并且结果矩阵为$C_{m \times p}$。
计算过程如下图所示(来自:mathworld):

其中 $C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$,即C中第i行第j列的元素，即为矩阵A的第i行和第j的对应元素相乘后的和。例如

注意矩阵乘法不满足交换律 一般而言矩阵乘积$AB \neq BA$（当然存在特殊情况下满足），因此在OpenGL中应用变换矩阵时注意变换应用的顺序。变换的例子后面会介绍。

矩阵和矩阵相乘举例

给定两个矩阵相乘，过程如下图所示(来自:mathsisfun):

熟悉了矩阵相乘后，则上述向量的点积公式可以重新表示为:
$a=(a_{1}, b_{2},\cdots,c_{n})$，$b=(b_{1},b_{2},\cdots, b_{n})$,
则两个向量的点积可以表示为:

$$\begin{align} a.b &= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n} \ &= \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \ &= \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\end{bmatrix} \ &= a^{T}b \tag{13} \end{align}$$

矩阵不满足交换律举例

这里$AB \neq BA$，提醒我们注意矩阵相乘时的顺序。

矩阵和向量相乘

矩阵和向量相乘是矩阵和矩阵相乘的特例，给定矩阵A和列向量v，相乘过程如下所示(来自mathinsight):

$$\begin{align*} Av &=\left[ \begin{array}{rrr} 1 &2 &3\ 4 &5 &6\ 7 &8 &9\ 10 & 11 & 12 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} -2\ 1\ 0 \end{array} \right] \ &= \left[ \begin{array}{c} -2\cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3\ -2\cdot 4 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 6\ -2\cdot 7 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 9\ -2\cdot 10 + 1 \cdot 11 + 0 \cdot 12 \end{array} \right] \ &= \left[ \begin{array}{c} 0\ -3\ -6\ -9 \end{array} \right]. \end{align*}$$

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行列式

行列式是n阶方阵的数字构成的数的行列集合，例如2阶方阵A表示为:
$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
其行列式det(A)表示为:

$$\begin{align} det(A) &=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \& = ad - bc \end{align}$$
3x3矩阵的行列式计算如下:
$$\begin{align*} \det \left(\left[ \begin{array}{ccc} a & b & c\ d & e & f\ g & h & i \end{array} \right]\right) &= a \det \left(\left[ \begin{array}{cc} e & f\ h & i \end{array} \right]\right) -b \det \left(\left[ \begin{array}{cc} d & f\ g & i \end{array} \right]\right) +c \det \left(\left[ \begin{array}{cc} d & e\ g & h \end{array} \right]\right)\ &=a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)\ &=aei +bfg + cdh -afh -bdi -ceg \end{align*}$$
关于矩阵行列式计算的更多方法可以参考线性代数教材。

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逆矩阵

对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得:
$AB=BA=I \tag{14}$
成立，则称B是A的逆矩阵，这时就说矩阵A是可逆矩阵，或者说矩阵A时非奇异矩阵(Nonsingular matrix)。单位矩阵$I$是主对角线上元素为1，其余元素都为0的n阶方阵。例如3x3的单位矩阵为:

$I_{3x3}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
注意 只有n阶方阵才有逆矩阵的概念，对于一般的矩阵$A_{m \times n}(m\neq n)$不存在这样的矩阵B满足14式。
n阶方阵A可逆的充要条件是A的行列式$|A| \neq 0$.

逆矩阵的应用意义
在3D图形处理中，用一个变换矩阵乘以向量，代表了对原始图形进行了某种变换，例如缩小，旋转等，逆矩阵表示这个操作的逆操作，也就是能够撤销这一操作。例如对一个向量v用矩阵M相乘，然后再用$M^{-1}$相乘，则能得到原来的向量v:
$M^{-1}(Mv)=(M^{-1}M)v=Iv=v$

注意转换矩阵应用顺序 当用矩阵A,B,C转换向量v时，如果v用行向量记法，则矩阵按转换顺序从左往右列出，表达为$vABC$;如果v采用列向量记法，则转换矩阵应该放在左边，并且转换从右往左发生，对应的转换记为$CBAv$。

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正交矩阵

对于方阵M，当且仅当M与其转置矩阵$M^{T}$的乘积等于单位矩阵时，称其为正交矩阵。即：
$M正交\Leftrightarrow MM^{T}=I \Leftrightarrow M^{T}=M^{-1}\tag{15}$
正交矩阵的一大优势在于，计算逆矩阵时，只需要对原矩阵转置即可，从而减少了计算量。在3D图形处理中的旋转和镜像变换都是正交的。
对于n阶方阵A，它是正交矩阵的重要条件是A的行向量为一个相互正交的单位向量组，即$A=\begin{bmatrix} \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \vdots \\ \beta_{n}\end{bmatrix}$为正交矩阵的充要条件是:

$A_{n \times n}正交 \Leftrightarrow \beta_{i}\beta_{j}^{T}= \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases} \tag{16}$
注意这里$\beta_{i}$表示的是行向量。上述条件可以叙述为:

• 矩阵的每一行都是单位向量
• 矩阵的所有行互相垂直。

这个重要条件可以利用$MM^{T}=I$加以证明。利用这个充要条件可以作为快速判断一个矩阵$M$是否是正交矩阵的方法。对于矩阵的列也可以得到类似的条件。同时也可以得到，如果$M$是正交矩阵，则$M^{T}$也是正交矩阵。

正交矩阵举例

例如下面的矩阵$R_{x}(\theta)$表示物体绕x轴的旋转$\theta$角度。
$R_{x}(\theta)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

可以验证矩阵的行向量都满足上面的条件16，则$R_{x}(\theta)$为正交矩阵。
也可以通过旋转矩阵本身的特性证明。对于旋转而言，绕x轴旋转$\theta$角度的逆操作等于绕x轴旋转$-\theta$角度，因此有:
$R_{x}(\theta)^{-1}=R_{x}(-\theta) \tag{*}$

应用: $cos(-\theta) = cos\theta$和$sin(-\theta) = - sin\theta$得到:
$R_{x}(-\theta)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & sin\theta & 0 \\ 0 & -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
可以发现:
$R_{x}(-\theta)=R_{x}(\theta)^{T} \tag{**}$
由*和**式子得到:
$R_{x}(\theta)^{-1}=R_{x}(\theta)^{T} \tag{***}$

由式15和***式得到$R_{x}(\theta)$为正交矩阵。

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GLM数学库中的向量和矩阵

GLM是一个C++编写的，基于OpenGL着色器语言规范编写只是用头文件的图形开发数学库。这个库中提供了我们需要的很多数学操作，例如包含本节提到的向量和矩阵。例如下面的代码是用了向量的标准化、叉积等操作求取了一个三角形的法向量:

    #include <glm/vec3.hpp>// glm::vec3
    #include <glm/geometric.hpp>// glm::cross, glm::normalize
    void computeNormal(triangle & Triangle)
    {
    glm::vec3 const & a = Triangle.Position[0];
    glm::vec3 const & b = Triangle.Position[1];
    glm::vec3 const & c = Triangle.Position[2];
    Triangle.Normal = glm::normalize(glm::cross(c - a, b - a));
    } 

例如与4x4矩阵对应类为 glm::mat4，其他更多的操作可以查看其参考文档，具体使用方法在后面应用时再做介绍。

参考资料

1.《3D数学基础：图形与游戏开发》清华大学出版社
2.《线性代数》武汉大学数学与统计学院 高等教育出版社 齐民友主编
3. 《交互式计算机图形学-基于OpenGL着色器的自动向下方法》电子工业出版社 Edward Angle等著

推荐网站

1. mathinsight.org
2. mathsisfun.com
3. mathworld