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时间：2014-05-04 20:40:33 阅读：451 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

$\bf命题1：$设$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加的数列,则$\lim \limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}$

证明：记

M = S u p k \geq 1 {a k}

$M = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}$
$\left( 1 \right)$当$M < + \infty $时,由上确界的定义知,对任给$\varepsilon > 0$,存在${a_N}$,使得

$M - \varepsilon < {a_N} \le M$
由于$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加数列,则当$n > N$时,有

$M - \varepsilon < {a_N} \le {a_n} \le M < M + \varepsilon$
从而由数列极限的定义即证

$\left( 2 \right)$当$M = + \infty $时,由上确界的定义知,对任给$\varepsilon > 0$,存在${a_N}$,使得

${a_N} > \varepsilon$
由于$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加数列,则当$n > N$时,有

${a_n} \ge {a_N} > \varepsilon$
从而由数列极限的定义即证

原文：http://www.cnblogs.com/ly758241/p/3706259.html

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