上一讲说到，各个特征（各个分量）对分类来说，其重要性当然是不同的。
舍去不重要的分量，这就是降维。
聚类变换认为：重要的分量就是能让变换后类内距离小的分量。
类内距离小，意味着抱团抱得紧。
但是，抱团抱得紧，真的就一定容易分类么？
如图1所示，根据聚类变换的原则，我们要留下方差小的分量，把方差大（波动大）的分量丢掉，所以两个椭圆都要向y轴投影，这样悲剧了，两个重叠在一起，根本分不开了。而另一种情况却可以这么做，把方差大的分量丢掉，于是向x轴投影，很顺利就能分开了。因此，聚类变换并不是每次都能成功的。
图1
摧枯拉朽的K-L变换
K-L变换是理论上“最好”的变换：是均方误差（MSE，MeanSquare Error）意义下的最佳变换，它在数据压缩技术中占有重要地位。
聚类变换还有一个问题是，必须一类一类地处理，把每类分别变换，让它们各自抱团。
K-L变换要把所有的类别放在一起变换，希望通过这个一次性的变换，让它们分的足够开。
K-L变换认为：各类抱团紧不一定好区分。目标应该是怎么样让类间距离大，或者让不同类好区分。因此对应于2种K-L变换。
其一：最优描述的K-L变换（沿类间距离大的方向降维）
首先来看个二维二类的例子，如图2所示。
图2
如果使用聚类变换，方向是方差最小的方向，因此降维向
方向投影，得到2类之间的距离即为2条绿线之间的距离，但是这并不是相隔最远的投影方向。将椭圆投影到
方向，得到2类之间的距离为2条红线之间的距离。这个方向就是用自相关矩阵的统计平均得到的特征向量
设共有M个类别，各类出现的先验概率为
以表示来自第i类的向量。则第i类集群的自相关矩阵为：
混合分布的自相关矩阵R是：
然后求出R的特征向量和特征值：
将特征值降序排列（注意与聚类变换区别）
为了降到m维，取前m个特征向量，构成变换矩阵A
以上便完成了最优描述的K-L变换。
为什么K-L变换是均方误差（MSE，MeanSquare Error）意义下的最佳变换？
其中表示n维向量y的第j个分量，
表示第个特征分量。
引入的误差
均方误差为
从m+1开始的特征值都是最小的几个，所以均方误差得到最小。
以上方法称为最优描述的K-L变换，是沿类间距离大的方向降维，从而均方误差最佳。
本质上说，最优描述的K-L变换扔掉了最不显著的特征，然而，显著的特征其实并不一定对分类有帮助。我们的目标还是要找出对分类作用大的特征，而不应该管这些特征本身的强弱。这就诞生了第2种的K-L变换方法。
其二：最优区分的K-L变换（混合白化后抽取特征）
针对上述问题，最优区分的K-L变换先把混合分布白化，再来根据特征值的分离程度进行排序。
最优区分的K-L变换步骤
首先还是混合分布的自相关矩阵R
然后求出R的特征向量和特征值：
以上是主轴变换，实际上是坐标旋转，之前已经介绍过。
令变换矩阵
则有
这个作用是白化R矩阵，这一步是坐标尺度变换，相当于把椭圆整形成圆，如图3所示。
图3
以二类混合分布问题为例。
分别求出二类的特征向量和特征值，有
则二者的特征向量完全相同，唯一的据别在于其特征根，而且还负相关，即如果取降序排列时，则
以升序排列。
为了获得最优区分，要使得两者的特征值足够不同。因此，需要舍弃特征值接近0.5的那些特征，而保留使大的那些特征，按这个原则选出了m个特征向量记作
则总的最优区分的K-L变换就是：
原文：http://blog.csdn.net/ycheng_sjtu/article/details/25528011
