排序之堆排序归并排序

时间：2014-05-15 16:18:51 阅读：483 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

堆的概念

堆是具有下列性质的完全二叉树：每个节点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或着每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

堆排序

堆排序（Heap Sort)就是利用堆（假设利用大顶堆）进行排序的方法。它的基本思想是，将待排序的序列构造成一个大顶堆。此时，整个序列的最大值就是对顶的根结点。将它移走（其实就是将其与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值），然后将剩余的n-1个序列重新构造成一个堆，这样就会得到n个元素中的次大值。如此反复执行，就可以得到一个有序序列了。

有上述思想可知，堆排序的两个要点：

1.如何由一个无序序列构建成一个堆？
2.如何在输出堆顶元素后，调整剩余元素称为一个新的堆？

/* 堆排序********************************** */

/* 已知L->r[s..m]中记录的关键字除L->r[s]之外均满足堆的定义， */
/* 本函数调整L->r[s]的关键字,使L->r[s..m]成为一个大顶堆 */
void HeapAdjust(SqList *L,int s,int m)
{ 
    int temp,j;
    temp=L->r[s];
    for(j=2*s;j<=m;j*=2) /* 沿关键字较大的孩子结点向下筛选 */
    {
        if(j<m && L->r[j]<L->r[j+1])
            ++j; /* j为关键字中较大的记录的下标 */
        if(temp>=L->r[j])
            break; /* rc应插入在位置s上 */
        L->r[s]=L->r[j];
        s=j;
    }
    L->r[s]=temp; /* 插入 */
}

/*  对顺序表L进行堆排序 */
void HeapSort(SqList *L)
{
    int i;
    for(i=L->length/2;i>0;i--) /*  把L中的r构建成一个大根堆 */
         HeapAdjust(L,i,L->length);

    for(i=L->length;i>1;i--)
    { 
         swap(L,1,i); /* 将堆顶记录和当前未经排序子序列的最后一个记录交换 */
         HeapAdjust(L,1,i-1); /*  将L->r[1..i-1]重新调整为大根堆 */
    }
}

时间复杂度

构建堆的时间复杂度为O(n)。在正式排序过程中，第i次取堆顶记录重建堆需要用O(logi)的时间，需要取n-1此堆顶记录。因此重建堆的时间复杂度为O(nlogn).

不过由于记录的比较与交换是跳跃式进行，因此堆排序也是一种不稳定的排序方法。

归并排序

分治法

分治法（divide-and-conquer)是一种算法设计策略，其思想是将原问题划分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。归并排序，希尔排序和快排都是分治思想的典型应用。

分治模式在每一层递归上都有三个步骤：

分解（Divide):将原问题分解成一系列子问题；
解决（Conquer):递归地解各子问题。若子问题足够小，则直接求解；
合并（Combine):将子问题的结果合并成原问题的解。

归并排序（merge sort)算法完全依照了上述模式，直观地操作如下：

分解：将n个元素分成各含n/2个元素的子序列；

解决：用合并排序法对两个子序列递归地排序；

合并：合并两个已排序的子序列以得到排序结果。

/* 归并排序********************************** */

/* 将有序的SR[i..m]和SR[m+1..n]归并为有序的TR[i..n] */
void Merge(int SR[],int TR[],int i,int m,int n)
{
    int j,k,l;
    for(j=m+1,k=i;i<=m && j<=n;k++)    /* 将SR中记录由小到大地并入TR */
    {
        if (SR[i]<SR[j])
            TR[k]=SR[i++];
        else
            TR[k]=SR[j++];
    }
    if(i<=m)
    {
        for(l=0;l<=m-i;l++)
            TR[k+l]=SR[i+l];        /* 将剩余的SR[i..m]复制到TR */
    }
    if(j<=n)
    {
        for(l=0;l<=n-j;l++)
            TR[k+l]=SR[j+l];        /* 将剩余的SR[j..n]复制到TR */
    }
}


/* 递归法 */
/* 将SR[s..t]归并排序为TR1[s..t] */
void MSort(int SR[],int TR1[],int s, int t)
{
    int m;
    int TR2[MAXSIZE+1];
    if(s==t)
        TR1[s]=SR[s];
    else
    {
        m=(s+t)/2;                /* 将SR[s..t]平分为SR[s..m]和SR[m+1..t] */
        MSort(SR,TR2,s,m);        /* 递归地将SR[s..m]归并为有序的TR2[s..m] */
        MSort(SR,TR2,m+1,t);    /* 递归地将SR[m+1..t]归并为有序的TR2[m+1..t] */
        Merge(TR2,TR1,s,m,t);    /* 将TR2[s..m]和TR2[m+1..t]归并到TR1[s..t] */
    }
}

/* 对顺序表L作归并排序 */
void MergeSort(SqList *L)
{ 
     MSort(L->r,L->r,1,L->length);
}

/* 非递归法 */
/* 将SR[]中相邻长度为s的子序列两两归并到TR[] */
void MergePass(int SR[],int TR[],int s,int n)
{
    int i=1;
    int j;
    while(i <= n-2*s+1)
    {/* 两两归并 */
        Merge(SR,TR,i,i+s-1,i+2*s-1);
        i=i+2*s;        
    }
    if(i<n-s+1) /* 归并最后两个序列 */
        Merge(SR,TR,i,i+s-1,n);
    else /* 若最后只剩下单个子序列 */
        for(j =i;j <= n;j++)
            TR[j] = SR[j];
}

/* 对顺序表L作归并非递归排序 */
void MergeSort2(SqList *L)
{
    int* TR=(int*)malloc(L->length * sizeof(int));/* 申请额外空间 */
    int k=1;
    while(k<L->length)
    {
        MergePass(L->r,TR,k,L->length);
        k=2*k;/* 子序列长度加倍 */
        MergePass(TR,L->r,k,L->length);
        k=2*k;/* 子序列长度加倍 */       
    }
}