么正矩阵(酉矩阵)-布布扣-bubuko.com

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一实(或复) 正交矩阵(orthogonal matrix) $技术分享$ 是一个实(或复) 方阵满足

$技术分享$ ，

即 $技术分享$ 。写出 $技术分享$ 阶实正交矩阵的行向量(column vector) 表达， $技术分享$ ，则 $技术分享$ ，矩阵乘积 $技术分享$ 的 $技术分享$ 元等于 $技术分享$ 与 $技术分享$ 的内积。因此， $技术分享$ 若 $技术分享$ ， $技术分享$ 若 $技术分享$ 。换句话说，实正交矩阵 $技术分享$ 的行向量 $技术分享$ 是向量空间 $技术分享$ 的一组单范正交基底(orthonormal basis)，单范表示归一， $技术分享$ 是单位向量，正交意味 $技术分享$ 垂直 $技术分享$ 。不过，复正交矩阵的行向量并非 $技术分享$ 的一个单范正交集，因为两个复向量 $技术分享$ 与 $技术分享$ 的内积定义为 $技术分享$ (见“ 内积的定义 ”)。如欲将实正交矩阵推广至复矩阵，将转置改为共轭转置。一么正矩阵(酉矩阵，unitary matrix) $技术分享$ 是一个复方阵满足

$技术分享$ ，

即 $技术分享$ 。同样地，设 $技术分享$ ，则 $技术分享$ 。么正矩阵的行向量 $技术分享$ 是向量空间 $技术分享$ 的一组单范正交基底。例如，

$技术分享$ ，

其中 $技术分享$ 。因为 $技术分享$ ，若 $技术分享$ 是一么正矩阵，则 $技术分享$ 也是么正矩阵。所以，么正矩阵 $技术分享$ 的共轭列向量(row vector) 构成 $技术分享$ 的一个单范正交集(事实上， $技术分享$ 的列向量即构成单范正交集，因为 $技术分享$ ， $技术分享$ 也是么正矩阵)。类似地，实正交矩阵 $技术分享$ 的列向量构成 $技术分享$ 的一个单范正交集。在一般情况下，么正矩阵与复正交矩阵是不同的，但实么正矩阵与实正交矩阵是相同的。所以，么正矩阵的所有性质皆可套用于实正交矩阵。

么正矩阵出现于许多矩阵分解式，举两个例子。第一是矩阵三角化的Schur 定理：任一方阵 $技术分享$ 可分解为 $技术分享$ ，其中 $技术分享$ 是一么正矩阵， $技术分享$ 是上三角矩阵(见“ 矩阵三角化的Schur定理 ”)。第二是正规矩阵(normal matrix) 的么正对角化(unitarily diagonalizable)：若 $技术分享$ 为一正规矩阵， $技术分享$ ，则存在一么正矩阵 $技术分享$ 使得 $技术分享$ ，其中 $技术分享$ 为一对角矩阵(见“ 特殊矩阵(2)：正规矩阵 ”)。事实上，可么正对角化是正规矩阵的一个充要条件。

以下令 $技术分享$ 为一 $技术分享$ 阶么正矩阵，所有的性质都是由定义式得来。

性质1 .向量的长度不因么正变换而改变，即每一 $技术分享$ ，

$技术分享$ 。

性质1说明么正变换是一个保长((length-preserving) 变换。使用定义式，

$技术分享$ 。

反过来说，若所有向量 $技术分享$ 都满足 $技术分享$ ，平方后整理可得 $技术分享$ ，可知 $技术分享$ ，并推得 $技术分享$ 。所以，保长是么正矩阵的一个充要条件。

性质2 .两向量的内积不因么正变换而改变，即任何 $技术分享$ ，

$技术分享$ 。

性质2说明么正变换具有内积不变性。使用定义式，

$技术分享$ 。

将上式的 $技术分享$ 替换为 $技术分享$ ，性质2可推得性质1。所以，内积不变性是么正矩阵的另一个充要条件。

性质3 .么正矩阵的特征值之绝对值为 $技术分享$ 。

假设 $技术分享$ ，等号两边同时取向量长度。利用性质1，等号左边为 $技术分享$ ，但等号右边为 $技术分享$ ，所以 $技术分享$ ，换句话说，么正矩阵的特征值可表示为 $技术分享$ 。

性质4 .么正矩阵 $技术分享$ 可么正对角化， $技术分享$ ，其中 $技术分享$ 是一么正矩阵， $技术分享$ 。

么正矩阵 $技术分享$ 满足 $技术分享$ ，因此属于正规矩阵家族，本身也可被么正对角化。下面介绍 $技术分享$ 对应相异特征值的特征向量互为正交的一个证明。假设非零向量 $技术分享$ 与 $技术分享$ 使得 $技术分享$ ， $技术分享$ ，且 $技术分享$ 。使用性质2，

$技术分享$ 。

比较等号两边，推得 $技术分享$ 或 $技术分享$ 。使用性质三，令 $技术分享$ ，则 $技术分享$ 。但已知 $技术分享$ 不等于 $技术分享$ ，推论 $技术分享$ ，证明 $技术分享$ 正交于 $技术分享$ 。

性质5 .么正矩阵 $技术分享$ 的行列式为 $技术分享$ 。

根据性质3， $技术分享$ 的特征值满足 $技术分享$ 。行列式等于特征值之积，故 $技术分享$ 。另一个作法计算

$技术分享$ ，

但 $技术分享$ ，所以 $技术分享$ 。

对于一实正交矩阵 $技术分享$ ， $技术分享$ 为实数，由性质5可知 $技术分享$ 。据此，实正交矩阵可以区分为两类：若 $技术分享$ ，则 $技术分享$ 称为适当的(proper) 的正交矩阵；若 $技术分享$ ，则 $技术分享$ 称为不适当的正交矩阵。令 $技术分享$ 是平面上逆时针旋转角为 $技术分享$ 的旋转矩阵， $技术分享$ 是平面上以 $技术分享$ 为镜射轴指向的镜射矩阵，公式如下(见“ 几何变换矩阵的设计 ”)：

$技术分享$ 。

因为 $技术分享$ ，平面旋转是适当的正交矩阵。另一方面， $技术分享$ ，平面镜射是不适当的正交矩阵(见“ 旋转与镜射 ”)。平面旋转与镜射是保长变换，提示我们这两种矩阵是实正交矩阵。

最后补充一个么正矩阵的充分条件：假设 $技术分享$ 阶矩阵 $技术分享$ 的特征值 $技术分享$ 满足 $技术分享$ 。若每一 $技术分享$ 使得 $技术分享$ ，则 $技术分享$ 是一个么正矩阵(见“ 每周问题July 6, 2015 ”)。注解提供两个证明：第一个证明使用奇异值分解^[1] ，第二个证明使用矩阵三角化的Schur定理^[2] 。

注解
[1] 令 $技术分享$ 的特征值为 $技术分享$ ，奇异值为 $技术分享$ 。给定的不等式等价于

$技术分享$ ，

其中 $技术分享$ 。令 $技术分享$ 的奇异值分解为 $技术分享$ ，其中 $技术分享$ 且 $技术分享$ 。使用恒等式 $技术分享$ ，又 $技术分享$ 且 $技术分享$ ，推得 $技术分享$ 。但 $技术分享$ ，可知 $技术分享$ 。因此， $技术分享$ ，即知 $技术分享$ ，证明 $技术分享$ 是一么正矩阵。