[问题2014S11] 解答

[问题2014S11]  解答

我们先引用一下复旦高代书 P310 的习题 6, 其证明可参考白皮书 P257 的例 8.33：

习题6  设实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=y_1^2+\cdots+y_k^2-y_{k+1}^2-\cdots-y_{k+s}^2$ , 其中 $y_i=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n\,(i=1,2,\cdots,k+s)$ , 求证: $f$ 的正惯性指数 $p\leq k$ , 负惯性指数 $q\leq s$ .

把上述结论转化为实对称阵的语言, 马上可以得到如下引理：

引理  设 $A$ 为 $m$ 阶实对称阵, $C$ 为 $m\times n$ 阶实矩阵, 则 $p(A)\geq p(C‘AC)$ , $q(A)\geq q(C‘AC)$ , 其中 $p(\,\cdot\,),q(\,\cdot\,)$ 分别表示正负惯性指数.

回到本题的证明.

考虑 $2n$ 阶实对称阵 $\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}$ 以及 $2n\times n$ 阶实矩阵 $\begin{bmatrix} I_n \\ I_n \end{bmatrix}$ , 则有

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原文：http://www.cnblogs.com/torsor/p/3734070.html