嵌套矩形——DAG上的动态规划

      有向无环图（DAG,Directed Acyclic Graph）上的动态规划是学习动态规划的基础。很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

      有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a,b描述，表示它的长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d,或者b<c,a<d(相当于把矩形X旋转90°)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内，但不能嵌套在(3,4)内。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行。使得除了最后一个之外，每个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

分析：

       矩形之间的"可嵌套"关系是一个典型的二元关系，二元关系可以用图来建模。如果矩形X可以嵌套在矩形Y里，我们就从X到Y连一条有向边。这个有向图是无环的，因为一个矩形无法直接或间接地嵌套在自己的内部。换句话说，它是一个DAG。这样，我们的任务便是求DAG上的最长路径。

方法一：

#include "stdio.h"
#include "string.h" 
#define maxn 1000+10 

typedef struct {		//矩形的数据结构，长、宽 
	int length;	
	int width;
}rectangle;

int G[maxn][maxn]; 		//DAG图的矩阵表示 
int d[maxn],n;			//d[i]顶点i的最长路径 
rectangle rec[maxn];

//打印出图的邻接矩阵，目的是确保建图正确无误 
void print_Graph()
{
	printf("|矩 形|");
	for(int i=0;i<n;i++) 
		printf("%2d,%2d|",rec[i].length,rec[i].width);
	printf("\n");
	
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int k=0;k<=n;k++)
			printf("------");
		printf("\n");
		
		printf("|%2d,%2d|",rec[i].length,rec[i].width);
		for(int j=0;j<n;j++){
			printf("  %d  |",G[i][j]);
		}printf("\n");
		
	}	
}


//构造图 
void createGraph()
{
	memset(G,0,sizeof(G));
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			if(rec[i].length>rec[j].length && rec[i].width>rec[j].width){				
				G[i][j]=1; 	//rec[i] 包含 rec[j]
			}
		}
	}
	
//	print_Graph();
}

//记忆化搜索程序 
int dp(int i)
{
	int& ans=d[i];	//为该表项声明一个引用，简化对它的读写操作。 
	if(ans>0) return ans;
	ans=1;
	for(int j=0;j<n;j++){
		if(G[i][j]){
			int tmp=dp(j);
			ans=ans>tmp+1?ans:tmp+1; 
		}
	}
	return ans;
}

int main()
{
	int N;
	scanf("%d",&N);
	while(N-->0)
	{
		int ans=0;
		scanf("%d",&n); 
		for(int i=0;i<n;i++){
			int tmp1,tmp2;
			scanf("%d%d",&tmp1,&tmp2);
			rec[i].length=tmp1>tmp2?tmp1:tmp2;
			rec[i].width=tmp1<tmp2?tmp1:tmp2; 
		}
		createGraph();
		
		//初始化记忆数组 
		memset(d,0,sizeof(d)); 
		for(int i=0;i<n;i++){
			int tmp=dp(i);
			ans=ans>tmp?ans:tmp;	
		}
		printf("%d\n",ans);
	} 
	return 0;
} 

方法二：可以点我！

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嵌套矩形——DAG上的动态规划

原文：http://blog.csdn.net/user_longling/article/details/26058883