欧几里得算法, 又称辗转相除法, 用于求两个自然数的最大公约数. 算法的思想很简单, 基于下面的数论等式
gcd(a,
b) = gcd(b, a mod b)
其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数, mod是模运算, 即求a除以b的余数. 算法如下:
输入: 两个整数a, b
输出: a和b的最大公约数
function gcd(a,
b:integer):integer;
if
b=0 return a;
else
return gcd(b, a mod b);
end
function
欧几里得算法是最古老而经典的算法, 理解和掌握这一算法并不难, 但要分析它的时间复杂度却并不容易.
我们先不考虑模运算本身的时间复杂度(算术运算的时间复杂度在Knuth的TAOCP中有详细的讨论), 我们只考虑这样的问题:
欧几里得算法在最坏情况下所需的模运算次数和输入的a和b的大小有怎样的关系?
我们不妨设a>b>=1(若a<b我们只需多做一次模运算, 若b=0或a=b模运算的次数分别为0和1),
构造数列{un}: u0=a, u1=b,
uk=uk-2 mod uk-1(k>=2), 显然, 若算法需要n次模运算,
则有un=gcd(a, b), un+1=0.
我们比较数列{un}和菲波那契数列{Fn}, F0=1<=un,
F1=1<=un-1, 又因为由uk mod
uk+1=uk+2,
可得uk>=uk+1+uk+2,
由数学归纳法容易得到uk>=Fn-k,
于是得到a=u0>=Fn, b=u0>=Fn-1.
也就是说如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于Fn-1. 换句话说, 若 b<Fn-1,
则算法所需模运算的次数必定小于n. 根据菲波那契数列的性质, 有Fn-1>(1.618)n/sqrt(5),
即b>(1.618)n/sqrt(5), 所以模运算的次数为O(lgb).
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欧几里得算法的时间复杂度
原文：http://www.cnblogs.com/johnnyflute/p/3738213.html
