一、K-近邻算法

K-近邻算法是一种典型的无参监督学习算法，对于一个监督学习任务来说，其$m$个训练样本为：

$$\left \{ \left ( X^{\left ( 1 \right )},y^{\left ( 1 \right )} \right ),\left ( X^{\left ( 2 \right )},y^{\left ( 2 \right )} \right ),\cdots ,\left ( X^{\left ( m \right )},y^{\left ( m \right )} \right ) \right \}$$

在K-近邻算法中，无需利用训练样本学习出统一的模型，对于一个新的样本，如$X$，通过比较样本$X$与$m$个训练样本的相似度，选择出$k$个最相似的样本，并以这$k$个样本的标签作为样本$X$的标签。

在如上的描述中，样本$X$需要分别与$m$个训练样本计算相似度，通常，使用的相似度的计算方法为欧式距离，即对于样本$X_i=\left \{ x_{i,1},x_{i,2},\cdots ,x_{i,n} \right \}$和样本$X_j=\left \{ x_{j,1},x_{j,2},\cdots ,x_{j,n} \right \}$，其两者之间的相似度为：

$$S=\sqrt{\sum_{t=1}^{n}\left ( x_{i,t}-x_{j,t} \right )^2}$$

对于K-近邻算法的具体过程，可以参见博文简单易学的机器学习算法——K-近邻算法。

在K-近邻算法的计算过程中，通过暴力的对每一对样本计算其相似度是非常好费时间的，那么是否存在一种方法，能够加快计算的速度？kd树便是其中的一种方法。

二、kd树

kd树是一种对$k$维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构，且kd树是一种二叉树，表示对$k$维空间的一个划分。

1、二叉排序树

在数据结构中，二叉排序树又称二叉查找树或者二叉搜索树。其定义为：二叉排序树，或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

一个典型的二叉排序树的例子如下图所示：

在二叉排序树中，若以中序遍历，则得到的是按照值大小排序的结果，即1->3->4->6->7->8->10->13->14。

如果需要检索7，则从根结点开始：

• $7<8$->左子树
• $7>3$->右子树
• $7>6$->右子树
• $7=7$->查找结束

但是，对于二叉排序树的建立，若构建二叉排序树的顺序为基本有序时，如按照1->3->4->6->7->8->10->13->14构建二叉排序树，会得到如下的结果：

这样的话，检索效率会下降，为了避免这样的情况的出现，会对二叉树设置一些条件，如平衡二叉树。对于二叉排序树的更多内容，可以参见数据结构和算法——二叉排序树。

2、kd树的概念

kd树与二叉排序树的基本思想类似，与二叉排序树不同的是，在kd树中，每一个节点表示的是一个样本，通过选择样本中的某一维特征，将样本划分到不同的节点中，如对于样本$\left \{ \left ( 7,2 \right ),\left ( 5,4 \right ),\left ( 9,6 \right ) \right \}$， 考虑数据的第一维，首先，根节点为$\left \{ \left ( 7,2 \right )\right \}$，由于样本$\left \{ \left ( 5,4 \right )\right \}$的第一维$5$小于$7$，因此，样本$\left \{ \left ( 5,4 \right )\right \}$在根节点的左子树上，同理，样本$\left \{ \left ( 9,6 \right )\right \}$在根节点的右子树上。通过第一维可以构建如下的二叉树模型：

在kd树的基本操作中，主要包括kd树的建立和kd树的检索两个部分。

3、kd树的建立

构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将$k$维空间切分成一系列的$k$维超矩阵区域。选择划分节点的方法主要有两种：

• 顺序选择，即按照数据的顺序依次在kd树中插入节点；
• 选择待划分维数的中位数为划分的节点。在kd树的构建过程中，为了防止出现只有左子树或者只有右子树的情况出现，通常对于每一个节点，选择样本中的中位数作为切分点。这样构建出来的kd树时平衡的。

在李航的《统计机器学习》P41中有提到：平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。

在构建kd树的过程中，也可以根据插入数据的顺序构建kd树，以二维数据集为例，其数据的顺序依次为：

$$\left \{ \left ( 3,6 \right ),\left ( 7,5 \right ),\left ( 3,1 \right ),\left ( 6,2 \right ),\left ( 9,1 \right ),\left ( 2,7 \right ) \right \}$$

对于如上的二维数据集，构建kd树：

• 选择一维最为切分的维度，如选择第$0$维，第一个数为$\left ( 3,6 \right )$，其第$0$维的值为$3$，以$\left ( 3,6 \right )$作为kd树的根结点，若第$0$维的值大于$3$为右子树，否则插入到左子树中；
• 对后续的节点依次判断，如$\left ( 7,5 \right )$，选择第$0$维，其值为$7$，大于$3$，插入到根结点的右子树中，设置其维数为除了第$0$维以外的任一维。。。

按照如上的过程，我们划分出来的kd树如下图所示：

此时，将样本按照特征空间划分如下图所示：

由以上的计算过程可以看出对于树中节点，需要有数据项，当前节点的比较维度，指向左子树的指针和指向右子树的指针，可以设置其结构如下：

#define MAX_LEN 1024

typedef struct KDtree{
        double data[MAX_LEN]; // 数据
        int dim; // 选择的维度
        struct KDtree *left; // 左子树
        struct KDtree *right; // 右子树
}kdtree_node;

构造kd树的函数声明为：

int kdtree_insert(kdtree_node *&tree_node, double *data, int layer, int dim);

函数的具体实现如下：

// 递归构建kd树，通过节点所在的层数控制选择的维度
int kdtree_insert(kdtree_node * &tree_node, double *data, int layer, int dim){
        // 空树
        if (NULL == tree_node){
                // 申请空间
                tree_node = (kdtree_node *)malloc(sizeof(kdtree_node));
                if (NULL == tree_node) return 1;

                //插入元素
                for (int i = 0; i < dim; i ++){
                        (tree_node->data)[i] = data[i];
                }
                tree_node->dim = layer % (dim);
                tree_node->left = NULL;
                tree_node->right = NULL;

                return 0;
        }

        // 插入左子树
        if (data[tree_node->dim] <= (tree_node->data)[tree_node->dim]){
                return kdtree_insert(tree_node->left, data, ++layer, dim);
        }

        // 插入右子树
        return kdtree_insert(tree_node->right, data, ++layer, dim);
}

当构建好了kd树后，需要对kd树进行遍历，在这里，实现了两种kd树的遍历方法：

• 先序遍历
• 中序遍历

对于先序遍历，其函数的声明为：

void kdtree_print(kdtree_node *tree, int dim);

函数的具体实现为：

void kdtree_print(kdtree_node *tree, int dim){
        if (tree != NULL){
                fprintf(stderr, "dim:%d\n", tree->dim);
                for (int i = 0; i < dim; i++){
                        fprintf(stderr, "%lf\t", (tree->data)[i]);
                }
                fprintf(stderr, "\n");
                kdtree_print(tree->left, dim);
                kdtree_print(tree->right, dim);
        }
}

对于中序遍历，其函数的声明为：

void kdtree_print_in(kdtree_node *tree, int dim);

函数的具体实现为：

void kdtree_print_in(kdtree_node *tree, int dim){
        if (tree != NULL){
                kdtree_print_in(tree->left, dim);
                fprintf(stderr, "dim:%d\n", tree->dim);
                for (int i = 0; i < dim; i++){
                        fprintf(stderr, "%lf\t", (tree->data)[i]);
                }
                fprintf(stderr, "\n");
                kdtree_print_in(tree->right, dim);
        }
}

4、kd树的检索

与二叉排序树一样，在kd树中，将样本划分到不同的空间中，在查找的过程中，由于查找在某些情况下仅需查找部分的空间，这为查找的过程节省了对大部分数据点的搜索的时间，对于kd树的检索，其具体过程为：

• 从根节点开始，将待检索的样本划分到对应的区域中（在kd树形结构中，从根节点开始查找，直到叶子节点，将这样的查找序列存储到栈中）
• 以栈顶元素与待检索的样本之间的距离作为最短距离min_distance
• 执行出栈操作：
  
  • 向上回溯，查找到父节点，若父节点与待检索样本之间的距离小于当前的最短距离min_distance，则替换当前的最短距离min_distance
  • 以待检索的样本为圆心（二维，高维情况下是球心），以min_distance为半径画圆，若圆与父节点所在的平面相割，则需要将父节点的另一棵子树进栈，重新执行以上的出栈操作
• 直到栈为空

以查找$\left ( 6,3 \right )$为例，首先，我们需要找到待查找的样本所在的搜索空间，搜索空间如下图中的黑色区域所示：

其对应的进栈序列为：$\left \{ \left ( 3,6 \right ),\left ( 7,5 \right ),\left ( 6,2 \right ) \right \}$。

此时，以到$\left ( 6,2 \right )$之间的距离为最短距离，最短距离min_distance为1，对栈顶元素出栈，此时栈中的序列为：$\left \{ \left ( 3,6 \right ),\left ( 7,5 \right ) \right \}$。以待检索样本$\left ( 6,3 \right )$为圆心，1为半径画圆，圆与$\left ( 6,2 \right )$所在平面相割，如下图所示：

此时，需要检索以$\left ( 6,2 \right )$为根节点的另外一棵子树，即需要将$\left ( 9,1 \right )$进栈，此时，栈中的序列为：$\left \{ \left ( 3,6 \right ),\left ( 7,5 \right ),\left ( 9,1 \right ) \right \}$。

注意：若需要进栈的子树中有很多节点，则根据需要比较的元素的大小，将直到叶节点的所有节点都进栈，这一点在很多地方都写得不清楚。

按照上述的步骤，再执行出栈的操作，直到栈为空。

检索过程的函数声明为：

void search_nearest(kdtree_node *tree, double *data_search, int dim, double *result);

函数的具体实现为：

void search_nearest(kdtree_node *tree, double *data_search, int dim, double *result){
    // 一直找到叶子节点
    fprintf(stderr, "\nstart searching....\n");
    stack<kdtree_node *> st;

    kdtree_node *p = tree;

    while (p->left != NULL || p->right != NULL){
        st.push(p);// 将p压栈
        if (data_search[p->dim] <= (p->data)[p->dim]){// 选择左子树
            // 判断左子树是否为空
            if (p->left == NULL) break;
            p = p->left;
        }else{ // 选择右子树
            if (p->right == NULL) break;
            p = p->right;
        }
    }


    // 现在与栈中的数据进行对比
    double min_distance = distance(data_search, p->data, dim);// 与根结点之间的距离
    fprintf(stderr, "init: %lf\n", min_distance);
    copy2result(p->data, result, dim);
    // 打印最优值
    for (int i = 0; i < dim; i++){
                fprintf(stderr, "%lf\t", result[i]);
        }
        fprintf(stderr, "\n");

    double d = 0;
    while (st.size() > 0){
        kdtree_node *q = st.top();// 找到栈顶元素
        st.pop(); // 出栈

        // 判断与父节点之间的距离
        d = distance(data_search, q->data, dim);

        if (d <= min_distance){
            min_distance = d;
            copy2result(q->data, result, dim);
        }

        // 判断与分隔面是否相交
        double d_line = distance_except_dim(data_search, q->data, q->dim); // 到平面之间的距离
        if (d_line < min_distance){ // 相交
            // 如果本来在右子树，现在查找左子树
            // 如果本来在左子树，现在查找右子树
            if (data_search[q->dim] > (q->data)[q->dim]){
                // 选择左子树
                if (q->left != NULL) q = q->left;
                else q = NULL;
            }else{
                // 选择右子树
                if (q->right != NULL) q = q->right;
                else q = NULL;
            }
            if (q != NULL){
                while (q->left != NULL || q->right != NULL){
                    st.push(q);
                    if (data_search[q->dim] <= (q->data)[q->dim]){
                        if (q->left == NULL) break;
                        q = q->left;
                    }else{
                        if (q->right == NULL) break;
                        q = q->right;
                    }
                }
                if (q->left == NULL && q->right == NULL) st.push(q);
            }
        }

    }
}

在函数的实现中，需要用到的函数为：

• 两个样本之间的距离

double distance(double *a, double *b, int dim){
    double d = 0.0;
    for (int i = 0; i < dim; i ++){
        d += (a[i] - b[i]) * (a[i] - b[i]);
    }
    return d;
}

• 待检索的样本到平面之间的距离

double distance_except_dim(double *a, double *b, int except_dim){
    double d = (a[except_dim] - b[except_dim]) * (a[except_dim] - b[except_dim]);
    return d;
}

• 复制最优的结果

void copy2result(double *a, double *result, int dim){
    for (int i = 0; i < dim; i ++){
        result[i] = a[i];
    }
}

三、测试

利用如上的测试集，我们构建kd树，并在kd树中查找$\left ( 6,3 \right )$，测试代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include "kdtree.h"

// 解析特征
int parse_feature(char *p, double *fea, int *dim){
        // 解析特征
        char *q = p;
        int i = 0;
        while ((q = strchr(p, ‘\t‘)) != NULL){
                *q = 0;
                fea[i] = atof(p);
                //fprintf(stderr, "atof(p):%lf\n", atof(p));
                p = q + 1;
                //r = r + 1;
                i += 1;
        }

        // 解析最后一个
        fea[i] = atof(p);

        *dim = i + 1;
        //fprintf(stderr, "atof(p):%lf\n", atof(p));

        //fprintf(stderr, "fea:%lf\t%lf\n", fea[0], fea[1]);
}

int main(){
        kdtree_node *tree_node = NULL;
        // 从文件中读入数据
        FILE *fp = fopen("data.txt", "r");
        char feature[MAX_LEN];
        double data[MAX_LEN];
        int data_dim = 0; // 数据的维数

        double data_search[2] = {6.0, 3.0};

        while (fgets(feature, MAX_LEN, fp)){
                fprintf(stderr, "%s", feature);
                parse_feature(feature, data, &data_dim);
                fprintf(stderr, "distance: %lf\n", distance(data, data_search, data_dim));
                // 插入到kd树中
                kdtree_insert(tree_node, data, 0, data_dim);
        }
        fclose(fp);
        fprintf(stderr, "dim:%d\n", data_dim);
        fprintf(stderr, "insert_ok\n");
        // test

        kdtree_print(tree_node, data_dim);
        printf("\n");
        kdtree_print_in(tree_node, data_dim);


        double result[2];

        search_nearest(tree_node, data_search, data_dim, result);

        fprintf(stderr, "\n the final result: ");
        for (int i = 0; i < data_dim; i++){
                fprintf(stderr, "%lf\t", result[i]);
        }
        fprintf(stderr, "\n");
        return 0;
}

以上的代码以上处至Github，其地址为：kd-tree。若有不对的地方，欢迎指正。

参考文献

• K近邻算法基础：KD树的操作
• k近邻法的C++实现：kd树
• An intoductory tutorial on kd-trees
• Range Searching using Kd Tree
• 最近邻算法的实现:k-d tree
• 从K近邻算法、距离度量谈到KD树、SIFT+BBF算法
• 《统计机器学习》