数学笔记：欧几里德算法及其扩展

有关欧几里德算法整理：

1.一些相关概念： 

   <1>.整除性与约数：

           ①一个整数可以被另外一个整数整除即为d|a(表示d整除a，通俗的说是a可以被d整除），其含义也可以说成，存在某个整数k，使得a=kd.
           ②如果d|a且d>=0,则称d是a的约数。                  
           ③如果d|a,则-d|a，即a的任何约数的负数同样可以整除a.但一般规定，约数为非负数。非零整数a的约数应至少为1，且d<=|a|.      
           ④因子：整数a的非平凡约数（除了1和它本身的约数）称为a的因子。     

   <2>.素数和合数.   

   <3>.除法定理：        
           对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0<=r<n,且a=qn+r.

        等模：               
           根据整数模n的余数，我们可以将所有的整数划分成n个等分类。包含整数a的模n等价类为：[a]n={a+kn}

   <4>.公约数与最大公约数：
       ①概念：
           公约数：如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数；
           两个不同时为0的整数a与b的公约数种最大的称为其最大公约数，记作gcd(a,b);
       ②基本性质：
           公约数的重要性质：若d是a,b的公约数，则d|(a+b)且d|(a-b);且对任意整数x,y,有d|(ax+by);
           gcd函数的基本性质略简单不提；
           
           若任意整数a,b不都为0，则gcd(a,b)为a与b的线性组合集{ax+by:x,y属于Z}的最小正整数。

 1 这里略带证明一下：
 2 
 3       设s是a与b的线性组合集合中的最小正元素，并且对某个x，y属于Z,有s=ax+by,设q=a/s.
 4       a mod s=a-qs;
 5       由于0<=a mod s<s
 6       =>a mod s=0
 7       =>s|a;
 8       同理，s|b
 9       =>s是a与b的公约数，满足gcd(a,b)>=s;
10       又gcd(a,b)|s,s>0
11       =>gcd(a,b)<=s;
12       结合以上，gcd(a,b)=s;
13       

2.欧几里德算法：

  <1>.基本原理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

  <2>.代码：

　3.扩展欧几里德算法：

  <1>.形式：d=gcd(a,b)=ax+by;

  <2>.推导：

     设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码如下

数学笔记：欧几里德算法及其扩展

原文：http://www.cnblogs.com/polebug/p/3536536.html