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root locus 徒手大致绘出根轨迹!一支笔,一张纸,足矣 自动控制原理

时间:2014-05-25 01:58:39      阅读:754      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

徒手绘制根轨迹



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可以看出假设的系统传递函数如图中黄色公式部分

特征方程是(s^3+4*s^2+K*s+1) = 0;

绘制根轨迹的方法是

铺垫:

1) 先把所有和K有关的项合并成一大项K(s), (相当于提公因式K)

2)  接着把得到的式子除以不含K的项(如图中蓝色字体部分)

于是可以得到,这是变形后的特征方程

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这个方程就变形为1+K * G(s) = 0 的形式了,很重要的铺垫



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接着有几条规则需要注意 rule 1 和rule 2

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Rule 1 看分子和分母谁的阶次高,把阶次高者的阶次标记为n,那么根轨迹有n条曲线


Rule 2 当K 从0增大到无穷大的时候,根的轨迹从传递函数的极点移动到传递函数的零点


上面的分析其实很精彩,极点和零点的定义分别是


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利用这个定义,那么可以与K的变化很好的对应起来

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K = 0的时候,P(s) = 0,此时是极点

K趋向于无穷大,而表达式为0,Q(s)必为0,是零点

这就可以观察到,K越来越大的时候,是从极点趋向于零点的!





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上图分别对应了极点数和零点数相等,极点数大于零点数,极点数小于零点数,三种情况的根轨迹大致分布图像



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Rule 3 如果有的根是虚根,那么必定对策分布,不对称就错鸟。。。。


Rule 4 同一极点引出的根轨迹是不能重叠和自身发生交叉相遇的!(原谅我烂大街的翻译。。。)




简单的demo

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三个极点一个零点:

1)3个极点比一个零点多,决定了系统的根轨迹有三条

2)有两条根轨迹将终止于无穷远处

3)图中ab极点根轨迹会对称分布

4)每个根轨迹不会交叉重叠





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Rule 5 所有根轨迹上的点的右侧,极点和零点数目和为奇数




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Rule 6 根轨迹会以和实轴夹角90度的方式离开实轴,直线延伸至无穷远处


Rule 7 如果这里没有足够的极点零点相互一一对应,对于多出的极点或者零点引出的根轨迹趋向于无穷远处



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Rule 8 趋向于无穷远处根轨迹的渐近线(这里不是简简单单的一条规则能说清楚的,详细说明如下)


渐近线和实轴的夹角为theta = (   (2*q+1)/(n-m)    ) * 180 此处q = n-m - 1,n是极点数,m是零点数

渐近线与实轴相交点 =  (   (所有极点值的和)-(所有零点值的和) ) / (n - m)


如上图左下,只有一个极点的时候,theta = (   ( (2*(1-0-1)) +1 ) / (1-0) ) * 180 = 180

于是渐近线和实轴的夹角是 = 180°


右边两个极点的图,同理

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当有三个极点的时候

n = 3 m = 0

q (max)= 3-0-1 = 2

于是q = 0 ,1, 2

对应的theta分别是60° 180°  -60°

分离点是((-1-2-3)-0)/ (3-0) = 2

这样就可以画出根轨迹啦!


4个极点的同理。。。。


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Rule 9 如果这里有两条根轨迹是趋向于无穷远处的,那么所有根的和是一个常数

就是说图中如果-3处的极点左移,-1左移,-2右移,得到的三个新极点的和还是同一个常数



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当K从0增大到负无穷大的过程中,这个时候得到的图像是和0从正无穷大的过程得到的图像关于虚轴对称的


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求解分离点就是解这个方程即可




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下图是各种根轨迹的demo

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之前有个问题,故意没有强调,放在后面,现在说

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两个极点,有一个落到实轴正半轴上,导致根轨迹趋向于无穷的时候是落在正半轴这边的。系统不稳定

我用matlab 做了一个demo


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怎么让系统变的稳定呢?


把趋向于无穷远的根轨迹落在正半轴部分的拉到负半轴去!

怎么拉?加零点!

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这样系统就会趋于稳定了

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beautiful !





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原文:http://blog.csdn.net/cinmyheart/article/details/26598693

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