【BZOJ4031】【HEOI2015】小Z的房间 [Matrix-Tree][行列式]-布布扣-bubuko.com

Description

　　你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
　　你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

　　第一行两个数分别表示n和m。
　　接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

　　一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

　　3 3
　　...
　　...
　　.*.

Sample Output

HINT

Main idea

　　给定n*m的矩形，由0和1构成，每个相邻的0点可连边，询问有几种连边方案使得0点两两相通且路径唯一。

Source

　　显然想到了题目要求求的就是生成树计数。我们运用Matrix-Tree定理，求出根据Matrix-Tree定理得到的行列式的值即可。关于行列式有如下三条性质，根据②③两条性质，类似高斯消元一样处理就可以得到行列式的值，该值即为最终答案。

　　PS(重点)：

　　(1) Matrix-Tree定理：Kirchhoff矩阵去掉任意一行和任意一列得到的行列式的值=生成树计数，其中Kirchhoff矩阵=“度数矩阵”-“邻接矩阵”。（为了方便处理，通常去掉Kirchhoff矩阵的第n行与第n列）

　　(2) 行列式的性质：
　　① 行列式的值等于只有对角线不为0时对角线的乘积;
　　② 交换行列式的其中任意两行之后(行列式的值)*-1;
　　③ 用行列式的一行减去[另一行*(一个系数)]，行列式的值不变。

Code

 1 #include<iostream>  
 2 #include<algorithm>  
 3 #include<cstdio>  
 4 #include<cstring>  
 5 #include<cstdlib>  
 6 #include<cmath>  
 7 using namespace std;  
 8   
 9 const int ONE=2005;
10 const int MOD=1e9;
11  
12 int n,m;
13 char ch[ONE]; 
14 long long a[ONE][ONE];
15 int Bian[ONE][ONE],tot;
16 int dx[]={0,1,0,-1};
17 int dy[]={1,0,-1,0};
18  
19 int get()    
20 {    
21         int res=1,Q=1;char c;    
22         while( (c=getchar())<48 || c>57 ) 
23         if(c==‘-‘)Q=-1; 
24         res=c-48;     
25         while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )    
26         res=res*10+c-48;    
27         return res*Q;    
28 }
29  
30 long long HLS_value(int n)
31 {
32         int PD=1;
33         long long Ans=1;
34          
35         for(int Now=1;Now<=n;Now++)
36         {
37             for(int i=Now+1;i<=n;i++)
38             {
39                 long long A=a[Now][Now],B=a[i][Now];
40                 while(B!=0)
41                 {
42                     long long t=A/B;
43                     for(int j=Now;j<=n;j++) a[Now][j]=(long long)(a[Now][j]-(long long)t*a[i][j]%MOD+MOD) % MOD;
44                     for(int j=Now;j<=n;j++) swap(a[Now][j],a[i][j]);
45                     A%=B; swap(A,B); PD=-PD;
46                 }
47             }
48                  
49             if(!a[Now][Now]) return 0;
50             Ans=Ans*a[Now][Now]%MOD;
51         }
52         return (PD*Ans+MOD) % MOD;
53 }
54  
55 int main()  
56 {      
57         n=get();    m=get();
58         for(int i=1;i<=n;i++)
59         {
60             scanf("%s",ch+1);
61             for(int j=1;j<=m;j++)
62             if(ch[j]==‘.‘) Bian[i][j]=++tot;
63         }
64          
65         for(int i=1;i<=n;i++)
66         for(int j=1;j<=m;j++)
67         if(Bian[i][j])
68         {
69             for(int k=0;k<=3;k++)
70             {
71                 int x=i+dx[k],y=j+dy[k],u=Bian[i][j],v=Bian[x][y];
72                 if(!v) continue;
73                 if(x<1 || x>n || y<1 || y>m)continue;
74                 a[v][v]=(a[v][v]+1) % MOD;
75                 a[u][v]=(a[u][v]-1+MOD) % MOD; 
76             }
77         }
78         printf("%lld",HLS_value(tot-1));
79          
80 }

View Code

原文：http://www.cnblogs.com/BearChild/p/6441045.html