(来自 succeme) A
是给定的方阵,特征值已知,其他小写字母为复数,用A
的特征值表出下列行列式的值:
????????b0Eabn?1An?1abn?2An?2?ab1Ab1Ab0Eabn?1An?1?ab2A2b2A2b1Ab0E?ab3A3?????bn?1An?1bn?2An?2bn?3An?3?b0E????????
解答: (来自 torsor) 首先,若 a=0
, 则所求矩阵是分块上三角阵,容易看出其行列式等于 bn20
. 以下设 a≠0
, 并且 ω1,?,ωn
是 xn?a
的 n
个不同的根. 设复系数多项式
考虑如下分块矩阵的乘法:
??????b0abn?1An?1?ab1Ab1Ab0?ab2A2b2A2b1A?ab3A3????bn?1An?1bn?2An?2?b0????????????Inω1In?ωn?11InInω2In?ωn?12InInω3In?ωn?13In????InωnIn?ωn?1nIn??????
=??????f(ω1A)ω1f(ω1A)?ωn?11f(ω1A)f(ω2A)ω2f(ω2A)?ωn?12f(ω2A)f(ω3A)ω3f(ω3A)?ωn?13f(ω3A)????f(ωnA)ωnf(ωnA)?ωn?1nf(ωnA)??????
=??????Inω1In?ωn?11InInω2In?ωn?12InInω3In?ωn?13In????InωnIn?ωn?1nIn?????????????f(ω1A)f(ω2A)?f(ωnA)???????.
由 Laplace 定理容易得到
∣∣∣∣∣∣Inω1In?ωn?11InInω2In?ωn?12InInω3In?ωn?13In????InωnIn?ωn?1nIn∣∣∣∣∣∣=∏1≤i<j≤n(ωj?ωi)n≠0,
故
∣∣∣∣∣∣∣b0abn?1An?1?ab1Ab1Ab0?ab2A2b2A2b1A?ab3A3????bn?1An?1bn?2An?2?b0∣∣∣∣∣∣∣=|f(ω1A)|?|f(ω2A)|?|f(ωnA)|,
用 A
的特征值不难将上述行列式的值写出来.
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[再寄小读者之数学篇](2014-05-26 计算行列式)
原文:http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3751986.html