任意两个无限阶循环群之间的映上同态总是同构的

扩展为：任意两个无限接循环群总是同构的

1.  设G关于二元运算“?”构成一个无限接循环群，记其单位元为e；
2. 有循环群的定义，记G得生成元为a,则G=<a>;----即表示G中任何一个元素都可以表示为aⁿ;
3. 由于任何一个无=无限阶循环群都与整数加群同构-----故问题等价于任何一个无限阶循环群都有整数加群同构；
4. 证明两个群是同构的等价于构造一个同构映射
5. φ（n）=aⁿ 是整数加群到G的映射；
6. 证明：φ是映射，任何相等相等的原像其像是相等的
7. 证明：φ是同态
8. 证明：φ是单射，满射

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如何证明其实单射-------其kerφ={0}

反证法：假设其kerφ中还包含有另外一个整数，记作n，满足φ（n）=aⁿ=e;

对于G中的任何一个元素a^m；令m=nr+q;0<q<\n\

则a^m=a^nr+q=a^nr+a^q=a^q

则任何一个元素a^m与都与有限个元素相等，故G不可能是无限阶群，矛盾。

任意两个无限阶循环群之间的映上同态总是同构的

原文：http://www.cnblogs.com/lookingforwardmrh/p/6789792.html