在计算最短路径之前，往往会先计算最短路径树。也就是计算从一个顶点出发，到其余全部顶点的最短距离。

有了最短路径树之后。路径和距离就很easy实现了：

public double distTo(int v) {
    return distTo[v];
}
 
public Iterable<DirectedEdge> pathTo(int v) {
    Stack<DirectedEdge> result = new Stack<DirectedEdge>();
    DirectedEdge edge = edgeTo[v];
    while (edge != null) {
        result.add(edge);
        edge = edgeTo[edge.from()];
    }
    return result;
}

“放松”操作

在最短路径算法中须要一种操作，这样的操作称之为“放松”操作。目标就是让权重更小的边替代当前已知的最小边。它的代码实现例如以下：

private void relax(DirectedEdge edge) {
    int v = edge.from();
    int w = edge.to();
    if(distTo[w] > distTo[v] + edge.weight()) {
        distTo[w] = distTo[v] + edge.weight();
        edgeTo[w] = edge;
    }
}

实现方法

最主要的实现方法就是“放松”全部的边，得到一个最短路径树。

那么依照哪种顺序放松全部的边呢？这里有这些方法：

• Dijkstra算法，适合非负权图

• 拓扑排序算法。适合无环图

• Bennman-Form算法，适合无负环图