[问题2014S14] 解答
首先, 满足条件的 \varphiφ
的全体特征值都为零. 事实上, 任取 \varphiφ
的特征值 \lambdaλ
, 对应的特征向量为 0\neq\xi\in V0≠ξ∈V
, 即 \varphi(\xi)=\lambda\xiφ(ξ)=λξ
, 则由假设可得 0=(\varphi(\xi),\xi)=(\lambda\xi,\xi)=\lambda(\xi,\xi),
0=(φ(ξ),ξ)=(λξ,ξ)=λ(ξ,ξ),
因为 \xi\neq 0ξ≠0
, 故 (\xi,\xi)>0(ξ,ξ)>0
, 从而 \lambda=0λ=0
.
我们用反证法来证明结论. 若 \varphi\neq 0φ≠0
, 则 \varphiφ
的 Jordan 标准型中至少有一个 Jordan 块的阶数大于 1, 不妨设为 J_m(0),\,m\geq 2Jm(0),m≥2
. 设这个 Jordan 块对应的基向量为 e_1,e_2,\cdots,e_me1,e2,?,em
, 则有 \varphi(e_1)=0,\,\,\varphi(e_2)=e_1,\,\,\cdots.
由 (\varphi(e_2),e_2)=0(φ(e2),e2)=0
可得 (e_1,e_2)=0(e1,e2)=0
. 由此可得 0=(\varphi(e_1+e_2),e_1+e_2)=(e_1,e_1+e_2)=(e_1,e_1)>0,
0=(φ(e1+e2),e1+e2)=(e1,e1+e2)=(e1,e1)>0,
这是一个矛盾. \Box
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原文：http://www.cnblogs.com/torsor/p/3774776.html
