定义：有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。
求强连通分量：
vector<int>pic[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],ans[maxn];
bool ins[maxn];
stack<int>st;
int dind=0,block=0;
int siz[maxn],cud[maxn];
void tarjan(int x)
{
dind++;
dfn[x]=low[x]=dind;
ins[x]=true;
st.push(x);
for (int j=0;j<pic[x].size();j++)
{
int y=pic[x][j];
if (dfn[y]==0)
{
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else if (ins[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if (low[x]==dfn[x])
{
block++;
siz[block]=0;
while (true)
{
int thi=st.top();
st.pop();
ans[thi]=block;
siz[block]++;
ins[thi]=false;
if (thi==x) break;
}
}
}
例题1【UVA-11324 最大团】
分析：先计算强连通分量，然后建一张新图，每个点的权值是它所包含的点的数量，求图的最长链。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=1010;
vector<int> pic[maxn],new_[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],ans[maxn];
bool ins[maxn];
stack<int>st;
int dind=0,block=0;
int siz[maxn],dp[maxn],Ans;
void tarjan(int x)
{
dind++;
dfn[x]=low[x]=dind;
ins[x]=true;
st.push(x);
for (int j=0;j<pic[x].size();j++)
{
int y=pic[x][j];
if (!dfn[y]){
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else if (ins[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if (low[x]==dfn[x])
{
block++;
siz[block]=0;
while (true)
{
int thi=st.top();
st.pop();
ans[thi]=block;
siz[block]++;
ins[thi]=false;
if (thi==x) break;
}
}
}
int DP(int x){
if(dp[x]!=-1) return dp[x];
int Max=0;
for(int i=0;i<new_[x].size();i++)
Max=max(Max,DP(new_[x][i]));
return dp[x]=siz[x]+Max;
}
void init(int n){
for(int i=1;i<=n;i++) pic[i].clear(),new_[i].clear();
memset(dfn,0,sizeof(dfn)); memset(low,0,sizeof(low));
memset(ans,0,sizeof(ans)); memset(ins,0,sizeof(ins));
while(!st.empty()) st.pop(); dind=block=Ans=0;
memset(siz,0,sizeof(siz)); memset(dp,-1,sizeof(dp));
}
int main(){
int n,m,N,u,v;
scanf("%d",&N);
while(N--){
scanf("%d%d",&n,&m);
init(n);
while(m--){
scanf("%d%d",&u,&v);
pic[u].push_back(v);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<pic[i].size();j++)
if(ans[i]!=ans[pic[i][j]]) new_[ans[pic[i][j]]].push_back(ans[i]);
for(int i=1;i<=block;i++) Ans=max(Ans,DP(i));
printf("%d\n",Ans);
}
return 0;
}
例题2【POJ 1236 学校网络】
第一问：缩点后求入度为0的结点数量；
第二问：对于一张有向无环图，可以通过把叶子结点连向根节点使它强连通；
like this：
所以需要连的边数量为max（叶节点，根节点）；
叶节点是出度为0的点，根节点是入度为0的点；
注意当只有一个强连通分量时，需要特判，为0；
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn=110;
vector<int> pic[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],ans[maxn];
bool ins[maxn];
stack<int>st;
set<int>check[maxn];
int dind=0,block=0;
int siz[maxn];
int ans1,in[maxn],out[maxn];
void tarjan(int x)
{
dind++;
dfn[x]=low[x]=dind;
ins[x]=true;
st.push(x);
for (int j=0;j<pic[x].size();j++)
{
int y=pic[x][j];
if (!dfn[y]){
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else if (ins[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if (low[x]==dfn[x])
{
block++;
siz[block]=0;
while (true)
{
int thi=st.top();
st.pop();
ans[thi]=block;
siz[block]++;
ins[thi]=false;
if (thi==x) break;
}
}
}
int main(){
int n,i,j;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&j);
while(j) pic[i].push_back(j),scanf("%d",&j);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=0;j<pic[i].size();j++){
int b1=ans[i],b2=ans[pic[i][j]];
if (b1==b2) continue;
if (check[b1].count(b2)) continue;
check[b1].insert(b2);
in[b2]++; out[b1]++;
}
int root=0,leaf=0;
for(int i=1;i<=block;i++){
if(!in[i]) root++;
if(!out[i]) leaf++;
}
printf("%d\n",root);
if(block==1) printf("0");
else printf("%d",max(leaf,root));
return 0;
}
类似的还有【HDU 2767】
很奇怪的是提交时出现了这样尴尬的问题：
0_0_20950778_21662.cpp
0_0_20950778_21662.cpp(29) : error C3861: “min”: 找不到标识符
0_0_20950778_21662.cpp(31) : error C3861: “min”: 找不到标识符
0_0_20950778_21662.cpp(83) : error C3861: “max”: 找不到标识符
然后在出错的库后面加上了#include "minmax.h"，就过了？（莫名其妙）
代码：
#include<iostream>
#include "minmax.h"
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn=20010;
vector<int> pic[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],ans[maxn];
bool ins[maxn];
stack<int>st;
set<int>check[maxn];
int dind=0,block=0,siz[maxn];
int in[maxn],out[maxn],T;
void tarjan(int x)
{
dind++;
dfn[x]=low[x]=dind;
ins[x]=true;
st.push(x);
for (int j=0;j<pic[x].size();j++)
{
int y=pic[x][j];
if (!dfn[y]){
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else if (ins[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if (low[x]==dfn[x])
{
block++;
siz[block]=0;
while (true)
{
int thi=st.top();
st.pop();
ans[thi]=block;
siz[block]++;
ins[thi]=false;
if (thi==x) break;
}
}
}
void init(int n){
for(int i=1;i<=n;i++) pic[i].clear(),check[i].clear();;
memset(dfn,0,sizeof(dfn)); memset(low,0,sizeof(low));
memset(ans,0,sizeof(ans)); memset(ins,0,sizeof(ins));
while(!st.empty()) st.pop();
dind=0;block=0; memset(siz,0,sizeof(siz));
memset(in,0,sizeof(in)); memset(out,0,sizeof(out));
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,i,j,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
init(n);
for(i=1;i<=m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
pic[x].push_back(y);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=0;j<pic[i].size();j++){
int b1=ans[i],b2=ans[pic[i][j]];
if (b1==b2) continue;
if (check[b1].count(b2)) continue;
check[b1].insert(b2);
in[b2]++; out[b1]++;
}
int root=0,leaf=0;
for(int i=1;i<=block;i++){
if(!in[i]) root++;
if(!out[i]) leaf++;
}
if(block==1) printf("0\n");
else printf("%d\n",max(leaf,root));
}
return 0;
}
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