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范德蒙恒等式的证明

时间:2014-06-16 21:25:20      阅读:382      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

今天我们来认识组合数学中一个重要的恒等式---范德蒙恒等式。这个恒等式的表述如下

 

           bubuko.com,布布扣

 

很自然的公式,接下来一起来看看它的证明,在维基百科上给出了两种方法证明,分别如下

 

(1)组合方法证明

 

    甲班有bubuko.com,布布扣个同学,乙班有bubuko.com,布布扣个同学,从两个班中选出bubuko.com,布布扣个一共有bubuko.com,布布扣种不同的选法。而换一种思维方式

 

    从甲班中选取bubuko.com,布布扣个同学,从乙班中选取bubuko.com,布布扣个同学,共有bubuko.com,布布扣种方法,而对所有的bubuko.com,布布扣

    就是

             bubuko.com,布布扣

 

    可以看出这两种方法应该是相等的,即

 

             bubuko.com,布布扣

 

(2)生成函数法证明

 

    由于bubuko.com,布布扣,对于等式左边有

 

    bubuko.com,布布扣

 

    而对于等式右边有

 

    bubuko.com,布布扣

 

    左右两边一比较可知

 

    bubuko.com,布布扣

 

     成立,证明完毕!

 

 

接下来我们看看一些关于范德蒙恒等式的衍生问题。

 

(1)证明下面恒等式

 

    bubuko.com,布布扣

 

证明:

 

             bubuko.com,布布扣

 

                令bubuko.com,布布扣bubuko.com,布布扣,那么有

 

     bubuko.com,布布扣

 

      证明完毕!

 

 

(2)证明下列的恒等式

 

    bubuko.com,布布扣

 

 

范德蒙恒等式的证明,布布扣,bubuko.com

范德蒙恒等式的证明

原文:http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/31032763

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