一个函数从数学上来说可以有无数个函数列收敛于这个函数，那么程序逼近实现来说可以有无数种算法，平方根自然也不例外。
不知道有多少人还记得手算平方根，那是满足每次在结果上添加一位，也就是按位逼近运算结果的唯一算法。至于数学上如何证明这个唯一性我就不说了，数学证明不会有那么多人有兴趣。按位逼近更加适合手算，举个大家更熟悉的例子，那就是手算除法。我这里就采用按位逼近的手算方法。
要说手算平方根，原理其实非常简单，
一是平方根函数是严格单调增函数，
二就是以下这个恒等式满足
(a*N+b)2 ≡ (a*N)2 + 2*a*b*N + b2
≡ (a*N)2 + b * ((a*N) * 2 + b)
我们实例操作一次平方根笔算，来解释一下。
我们来求5499025的平方根。
先将5499025两位两位从低往高排，为
5 49 90 25
2*2<5<3*3
所以最高位为2，
然后我们再来看549的平方根，
我们假设549的平方根的整数部分是2*10+b，则根据之前的恒等式，N在这里等于10，a在这里等于2，有
549 >=(2*10)2 + b * ((2*10) * 2 + b)
整理一下，149 >= b * (40 + b)
3 * 43 < 149 < 4 * 44
所以b=3，
549的平方根整数部分是23，
再假设54990的平方根整数部分为23*10+b,
则
54990 >= (23*10)2 + b * ((23*10) * 2 + b)
整理一下，2090 >= b * (460 + b),
464 * 4 < 2090 < 465 * 5
所以b=4,
54990的平方根整数部分为234，
最后再来看5499025的平方根的整数部分，假设为234 * 10 + b,
则
5499025 >= (234*10)2 + b * ((234*10) * 2 + b)
整理一下， 23425 >= b * (4680 + b)
而5 * 4685 = 23425, 等式成立，
所以最终我们要求的平方根是2345。当然，小数位其实一样可以用这种方法继续算下去。
手算平方根就是如上这样从高位一步步往地位推的过程，写成式子的形式大致如下：
2 3 4 5
-------------------
| 5 49 90 25
2 | 4
-------------------
| 1 49
43 | 1 29 ——当前算出了2，2*10*2 = 40
-------------------
| 20 90
464 | 18 56 ——当前算出了23，23*10*2 = 460
-------------------
| 2 34 25
4685 | 2 34 25 ——当前算出了234，234*10*2 = 4680
-------------------
0
当然，如何写不重要，知道过程便可以继续我们的这个设计。接下去我们要去利用之前的这个算法，改装一下，来进行二进制的开平方。
二进制的每一位不是1就是0，这样在每次往前推一位的时候就相对简单。
举个例子，我们来算121的平方根，也就是二进制下1111001的平方根。
两位两位从低位往高位排
1 0 1 1
------------------
| 1 11 10 01
1 | 1
------------------
| 11
100 | 0 ——当前上面算出了1，1右移动两位为100
------------------
| 11 10
1001 | 10 01 ——当前上面算出了10，1右移动两位为1000
------------------
| 1 01 01
10101 | 1 01 01 ——当前上面算出了101，1右移动两位为10100
------------------
0
每往右边推1位，下面的除数就是上面当前算出来的二进制的数右移两位再加1或者加0
之后，我们就可以用构建利用此算法的平方根了。
原文：http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/7220506.html