狄利克雷卷积

在算术函数集上，可以定义一种二元运算，使得取这种运算为乘法，取普通函数加法为加法，使得算术函数集为一个交换环。其中一种这样的运算便是狄利克雷卷积。它和一般的卷积有不少相类之处。

对于算术函数，定义其狄利克雷卷积。

取狄利克雷卷积为运算，积性函数集是算术函数集的子群。

运算[编辑]

• 交换律
• 结合律
• 分配律
• 存在单位函数ε使得。ε(n)的值为1若n=1，否则ε(n)=0。
• 对于任意算术函数，若不等于0，都有唯一的逆函数，使得。

的值如下：

对于，

默比乌斯函数μ的逆函数为（一般意义上的）1，即对于，。这是默比乌斯反转公式的原理。

狄利克雷卷积以数学家狄利克雷命名。1857年刘维尔曾发表了许多包含这个运算的恒等式。将它视为二元运算这个观点是E. T. 贝尔和 M. Cipolla 在1915年提出的。

导数[编辑]

若定义的“导数”，可以发现这个运算和连续实函数的导数有不少相似的地方：

级数[编辑]

对于算术函数f，定义其狄利克雷级数

对于一些算术函数的狄利克雷级数，它们的积，跟那些算术函数的狄利克雷卷积的狄利克雷级数是相等的：

这跟卷积定理很相似。

定义f的贝尔级数

也有类似的关系：

参考[编辑]

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
• http://eom.springer.de/D/d130150.htm

狄利克雷卷积,布布扣,bubuko.com

狄利克雷卷积

原文：http://www.cnblogs.com/zyfzyf/p/3806330.html