设$H<G$,全体左陪集构成的集合$\overline{G}=\{gH:g\in G\}$,我们希望赋予$\overline{G}$群的结构,很自然的定义乘法为$$aH\cdot bH=abH$$容易验证此运算下有幺元$H$,以及任意的$aH\in\overline{G}$有逆元$a^{-1}H$.但是最主要的问题是:左陪集的代表元选取并不唯一,那么次乘法的定义是否是无矛盾的?换言之,若$aH=a‘H,bH=b‘H$,是否有$abH=a‘b‘H$?这要求$a‘^{-1}abH=b‘H=bH$,此即$HbH=bH\Leftrightarrow b^{-1}HbH=H$,因此$b^{-1}Hb\subset H$,注意到对称性,自然还有$bHb^{-1}\subset H\Rightarrow H\subset b^{-1}Hb$,因此$$b^{-1}Hb=H$$也就是说$H$的共轭子群仍是自己.由此我们引出正规子群的概念:
定义 群$G$的子群$N$称为$G$的正规子群,如果$\forall g\in G$有$g^{-1}Ng=N$,记作$N \triangleleft G$.
如果$N\leq G$,不难看出下列条件是等价的：
1.$N\triangleleft G$;
2.对任意的$g\in G$,$gN=Ng$;
3.$N_G(N)=G$;
4.$G$对于$N$的每个左陪集均是右陪集.
定理得证明是显然的.由前面的分析可知如果$N$是$G$的正规子群,那么陪集集合$\overline{G}$在上述陪集乘法定义下构成一个群,称为群$G$模$N$的商群,也记作$G/N:=\overline{G}$,根据Lagrange定理可得商群的阶数$$|G/N|=[G:N]=\frac{|G|}{|N|}$$
需要注意的是,我们在高等代数中知道：线性空间$V$可以对其任意子空间$M$作商空间$V/M$.但是群只能对正规子群作商群!
可以看出群$G$一定有两个正规子群$\{1\},G$,称为平凡正规子群,我们把那些只有平凡正规子群的群称作单群!
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