用途：求\( a^x \equiv b (mod p) 中的x \)
一、对于p为质数的情况
此时 \( 0 \leq x \leq p-1 \)
设 \( m=\left \lceil \sqrt{p} \right \rceil ,x=i*m-j \)这里-的作用是避免逆元
于是可以把式子变形成这样： \( a^{im}\equiv ba^j(mod p) \)
枚举右边 \( 0 \leq j <m \)，用map或者hash以模数为下标来存每一个j
枚举左边\( 0 \leq i <m \) ，在map或者hash中查找对应的模数
二、对于gcd(a,p)==1的情况
此时 \( 0 \leq x \leq \varphi(p) \)
其余同上
三、对于gcd(a,p)>1的情况
即扩展BSGS
把式子变成等式的形式：\( a^x+yp=b \)
设\( g=gcd(a,p) \)
那么两边同时除以g就会变成：\( \frac{a}{g} a^{x-1}+y\frac{p}{g}=\frac{b}{g} \)
如此循环到情况二，然后正常求即可
最后答案加上循环次数，即当前的x是经过几次减一得到的
注意有很多关于0和1的特判
扩展BSGS模板：
//map
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
int a,b,p,ans;
map<int,int>mp;
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int ksm(int a,int b,int p)
{
int r=1;
while(b)
{
if(b&1)
r=(long long)r*a%p;
a=(long long)a*a%p;
b>>=1;
}
return r;
}
int BSGS(int a,int b,int p)
{
a%=p,b%=p;
if(b==1)
return 0;
int cnt=0,d=1;
for(int g=gcd(a,p);g!=1;g=gcd(a,p))
{
if(b%g)
return -1;
p/=g,b/=g;
d=(long long)d*a/g%p;
cnt++;
if(b==d)
return cnt;
}
mp.clear();
int m=ceil(sqrt(p)),t=b;
for(int i=0;i<m;i++)
{
mp[t]=i;
t=(long long)t*a%p;
}
int g=ksm(a,m,p);
t=(long long)d*g%p;
for(int i=1;i<=m+1;i++)
{
if(mp[t])
return cnt+i*m-mp[t];
t=(long long)t*g%p;
}
return -1;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d",&a,&p,&b)&&a+b+p)
{
if(p==1)
{
puts("0");
continue;
}
ans=BSGS(a,b,p);
if(ans==-1)
puts("No Solution");
else
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
//hash
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=739391,N=2e6;
int a,b,p,ans,ti,v[N],con;
struct qwe
{
int b,v,ne;
}ha[N];
void ins(int w,int b,int va)
{//cout<<va<<endl;
if(v[w]!=ti)
{
v[w]=ti;
ha[w].v=va;
ha[w].b=b;
ha[w].ne=-1;
return;
}
for(;ha[w].ne!=-1;w=ha[w].ne)
if(ha[w].b==b)
return;
ha[w].ne=++con;
ha[con].ne=-1;
ha[con].v=va;
ha[con].b=b;
}
int find(int w,int b)
{
if(v[w]!=ti)
return 0;
for(;w!=-1;w=ha[w].ne)
if(ha[w].b==b)
return ha[w].v;
return 0;
}
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int ksm(int a,int b,int p)
{
int r=1;
while(b)
{
if(b&1)
r=(long long)r*a%p;
a=(long long)a*a%p;
b>>=1;
}
return r;
}
int BSGS(int a,int b,int p)
{
a%=p,b%=p;
if(b==1)
return 0;
int cnt=0,d=1;
for(int g=gcd(a,p);g!=1;g=gcd(a,p))
{
if(b%g)
return -1;
p/=g,b/=g;
d=(long long)d*a/g%p;
cnt++;
if(b==d)
return cnt;
}
con=mod,ti++;
int m=ceil(sqrt(p)),t=b;
for(int i=0;i<m;i++)
{
ins(t%mod,t,i);
t=(long long)t*a%p;
}
int g=ksm(a,m,p),now;
t=(long long)d*g%p;
for(int i=1;i<=m+1;i++)
{
if(now=find(t%mod,t))
return cnt+i*m-now;
t=(long long)t*g%p;
}
return -1;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d",&a,&p,&b)&&a+b+p)
{
if(p==1)
{
puts("0");
continue;
}
ans=BSGS(a,b,p);
if(ans==-1)
puts("No Solution");
else
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}模板题：
普通BSGS bzoj 3239 && 2480 http://www.cnblogs.com/lokiii/p/8359935.html
扩展BSGS poj 3243 && 1467 http://www.cnblogs.com/lokiii/p/8360202.html
其他题：
bzoj 2242 http://www.cnblogs.com/lokiii/p/8360272.html
bzoj 3122 http://www.cnblogs.com/lokiii/p/8360164.html