Cipolla算法学习小记

转自：http://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204

简介

Cipolla算法是解决二次剩余强有力的工具，一个脑洞大开的算法。 
认真看懂了，其实是一个很简单的算法，不过会感觉得出这个算法的数学家十分的机智。

基础数论储备

二次剩余

首先来看一个式子x2≡n(modp),我们现在给出n，要求求得x的值。如果可以求得，n为mod p的二次剩余，其实就是n在mod p意义下开的尽方。Cipolla就是一个用来求得上式的x的一个算法。

勒让德符号

勒让德符号是判断一个数是否为p的二次剩余的一个有力工具，p一定要为奇质数。（n,p）表示n为关于p的勒让德符号。其实就是判断n是否为p的二次剩余。 

看起来好像是一大段废话，勒让德只是站在巨人的肩膀上总结了一下而已。 
其实勒让德还总结了一些性质，不过一般只用得到欧拉判别准则，不够勒让德符号是个积性函数可能还有点用。 
但还是不知道如何判断n是否为p的二次剩余，往下看欧拉判别准则

 ll Legendre(ll a, ll p)  
  {  
       return qsm(a, (p-1)/2, p);  
  } 

欧拉判别准则

先来回顾一下欧拉定理xφ(p)≡1(modp) 
因为这里的p是奇质数，所以xp−1≡1(modp) 
对xp−1进行开方操作，在虚数域中xp−12≡±1(modp)，如果等于1就肯定开的了方，为-1一定开不了。所以x是否为n的二次剩余就用这个欧拉判别准则。

if(qsm(n,(p-1)/2)==p-1){
    printf("No root\n"); 
    continue;   
}

-1在mod p意义下为p-1。

算法流程

给出n和p 
就算我们n关于p的勒让德符号为1，那么要怎样取开n的方呢？ 
现在是脑洞大开的时候。

找一个数a

我们随机一个数a，然后对a2−n进行开方操作（就是计算他勒让德符号的值），直到他们的勒让德符号为-1为止（就是开不了方为止）。 
就是找到一个a满足(a2−n)p−12=−1 
先不要管为什么，后面会讲，我们现在就默默的去膜拜Cipolla的脑洞很大。

while(1){
    a=rand()%p;
    w=(a*a-n+p)%p;
    if(qsm(w,(p-1)/2)==p-1)break;
}

因为是随机找a，那么会不会要找很久。 
答案：不会！ 
?定理1：x2≡n(modp)中有p−12个n能使方程有解 
⇒证明定理1：x2≡n(modp)，如果存在不同的数u,v，使他们带入x后可以使方程有解，那么很显然满足u2−v2|p，所以满足(u+v)(u−v)|p，因为 
u2−v2|p所以p不可能是(u-v)的倍数，所以(u+v)|p，那么这样的数对在p中存在的数量为p−12 
根据定理1，随机找a的期望为2。

建立一个复数域

说是建立，其实根本不用程序去打，说是建立复数域只是跟方便理解。 
在平常学的复数域中，有一个i，满足i2=−1。 
我们也建立一个类似的域，因为我们要对于a2−n开方，而a2−n有不是p的二次剩余，所以我们定义ω=a2−n−−−−−√。那么现在的ω也像i一样，满足ω2=a2−n，这样我们就定义了一个新的域。

struct CN{
    ll x,y;
    CN friend operator *(CN x,CN y){
        CN z;
        z.x=(x.x*y.x%p+x.y*y.y%p*w%p)%p;
        z.y=(x.x*y.y%p+x.y*y.x%p)%p;
        return z;    
    }
}u,v;

像正常打复数运算一样我们定义一下运算符。可以发现z.x那个地方后面是*w而不是*1，因为现在的域单位复数为ω，满足ω2=a2−n，而不像正常复数的i2=−1。在这个域中的表示方式类似正常的复数：a+bω

得出答案

我们要求的是x2≡n(modp)，x的值 
我们现在知道了a和ω之后，就能得出答案了。 
答案=(a+ω)p+12 
真的吗？真的！但是这个答案不是由实数和虚数组成的吗？ 
根据拉格朗日定理，可以得出虚数处的系数一定为0。

为什么会有两个答案，比如4√=±2，x2≡(p−x)2(modp)很显然，因为把后面拆开x2≡x2−2px+p2(modp)，把p都约去，所以x2≡(p−x)2(modp)。

证明原理

再搞出一些定理方便说明。

定理

?定理2：(a+b)p≡ap+bp(modp) 
⇒证明定理2：根据二项式定理: 
(a+b)p≡∑pi=0Cipap−ibi(modp) 
≡∑pi=0p!(p−i)!i!ap−ibi(modp) 
可以发现，只有当i=0或i=p的时候式子没有p的因子，所以中间有p的因子的都可以省略，所以(a+b)p≡ap+bp(modp) 
?定理3：ωp≡−ω(modp) 
⇒证明定理3：ωp 
=ωp−1∗ω 
=(ω2)p−12∗ω 
=(a2−n)p−12∗ω——因为ω2=a2−n 
=−ω——因为满足(a2−n)p−12=−1 
?定理4：ap≡a(modp) 
⇒证明定理3：ap根据费马小定理 
≡ap−1≡1(modp) 
所以ap≡a∗ap−1≡a(modp)

推导

问题：x2≡n(modp)求解x 
Cipolla：x≡(a+ω)p+12(modp)的实数 
直接把式子转化： 
(a+ω)p+12(modp) 
≡((a+ω)p+1)12(modp) 
≡((a+ω)p(a+ω))12(modp) 
≡((ap+ωp)(a+ω))12(modp)根据定理2 
≡((a−ω)(a+ω))12(modp)根据定理3和定理4 
≡(a2−ω2)12(modp)根据定理3和定理4 
≡(a2−(a2−n))12(modp)满足ω2=a2−n 
≡n12(modp) 
所以(a+ω)p+12≡n12≡n√(modp) 
这脑洞太大了！！！！！！！！！！！！！！

代码

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 ll w,a,n,p;
 5 struct CN
 6 {
 7     ll x,y;
 8     CN operator * (const CN &a)const
 9     {
10         CN z;
11         z.x=(x*a.x%p+y*a.y%p*w%p)%p;
12         z.y=(x*a.y%p+y*a.x%p)%p;
13         return z;
14     }
15 }u;
16 ll qsm(ll x,ll y)
17 {
18     ll ans=1;
19     while(y)
20     {
21         if(y&1)ans=ans*x%p;
22         x=x*x%p;y>>=1;
23     }
24     return ans;
25 }
26 CN Cqsm(CN x,ll y)
27 {
28     CN z;z.x=1;z.y=0;
29     while(y)
30     {
31         if(y&1)z=z*x;
32         x=x*x;y>>=1;
33     }
34     return z;
35 }
36 int main()
37 {
38      int T;
39     scanf("%d",&T);
40     while(T--)
41     {
42         scanf("%lld%lld",&n,&p);
43         n%=p;
44         if(p==2)
45         {
46             printf("1\n");
47             continue;
48         }
49         if(qsm(n,(p-1)/2)==p-1){
50             puts("No root");
51             continue;
52         }
53         while(1)
54         {
55             a=rand()%p;
56             w=(a*a%p-n+p)%p;
57             if(qsm(w,(p-1)/2)==p-1)break;
58         }
59         u.x=a;u.y=1;
60         u=Cqsm(u,(p+1)/2);
61         ll ans1=u.x,ans2=p-ans1;
62         if(ans1>ans2)swap(ans1,ans2);
63         if(ans1==ans2){
64             printf("%lld\n",ans1);
65         }
66         else{
67             printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
68         }
69     }
70     return 0;
71 }