给出一个$m$排$n$列的矩阵，求有多少个子矩阵满足子矩阵内的数字和为$k$的倍数。$m,n<=400, k<=10^6$。
把矩阵换为线段，子矩阵换为子线段。对于原序列$a$，很容易我们想到用序列$s$来维护区间的前缀和。若区间$[l,r]$内数字和为$k$的倍数，则$s_{r}-s_{l-1}$能整除以$K$。
$(s_{r}-s_{l-1})\mod k=0$。由上式我们可以推出$s_{r}\equiv s_{l-1} (\mod K)$。所以以$r$为结尾的满足条件的区间数$f(r)|\{i|i<r,s_{i}\equiv s_{r}(\mod K)\}|$。
我们可以考虑对所有的余数$r$设置一个数组$b$表示到当前存在的$s_{i}\mod K=r$的个数，从左到右枚举下标$i$，则$f(i)=b(s_{i}\mod K)$，然后$b(s_{i}\mod K)++$。最终的结果就是$\sum f(i)$。注意：若$s_{i}\mod K=0$，则区间$[i,i]$也是一个解。故$b(0)=1$。
枚举上面的一排和下面的一排，把夹在两排中间的列中数字和作为$a$即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LOOP(i, n) for(int i=1; i<=n; i++)
#define LoopFrom(i, l, r) for(int i=l; i<=r; i++)
#define ll long long
const int MAX_ROW = 410, MAX_COL = 410, MAX_MOD = 1000010;
ll Prefix[MAX_ROW][MAX_COL];
ll ModCnt[MAX_MOD];
ll Mods[MAX_COL];
ll TotRow, TotCol, K;
void Read()
{
scanf("%lld%lld%lld", &TotRow, &TotCol, &K);
LOOP(row, TotRow)
{
LOOP(col, TotCol)
{
scanf("%lld", &Prefix[row][col]);
Prefix[row][col] += Prefix[row - 1][col] + Prefix[row][col - 1] - Prefix[row - 1][col - 1];
}
}
}
ll Proceed()
{
ll ans = 0;
LOOP(rowUp, TotRow)
{
LoopFrom(rowDown, rowUp, TotRow)
{
//memset(ModCnt, 0, sizeof(ModCnt));
ModCnt[0] = 1;
LOOP(col, TotCol)
{
ll colPrefix = Prefix[rowDown][col] - Prefix[rowUp - 1][col];
Mods[col] = colPrefix % K;
ans += ModCnt[Mods[col]]++;
}
LOOP(col, TotCol)
ModCnt[Mods[col]] = 0;
}
}
return ans;
}
int main()
{
ll ans = 0;
Read();
printf("%lld\n", Proceed());
return 0;
}
原文：https://www.cnblogs.com/headboy2002/p/8995560.html