样本的均值性质

（1）\(\sum\limits_{i=1}^{n}{({{X}_{i}}-\overline{X})}=0\);

（2）若总体\(X\)的均值、方差存在，且$EX=\mu $， \(DX={{\sigma }^{2}}\)，则
$E\overline{X}=\mu $ ，\(D\overline{X}=\frac{{{\sigma }^{2}}}{n}\)

（3）当$n\to \infty $ 时，$ \overline{X}\xrightarrow{p}\mu $ .

证明 :

（1） \(\sum\limits_{i=1}^{n}{({{X}_{i}}-\overline{X})}\text{=}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}}-n\overline{X}=n\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}}}{n}-n\overline{X}=n\overline{X}-n\overline{X}=0\)

（2） \(E\overline{X}=E(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}})=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{E{{X}_{i}}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{EX}=\mu\) ,
\(D\overline{X}=D(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}})=\frac{1}{{{n}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{D{{X}_{i}}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{DX}=\frac{1}{{{n}^{2}}}n{{\sigma }^{2}}=\frac{{{\sigma }^{2}}}{n}\) .

（3） 由概率论中的大数定律知，当$n\to \infty $ 时，\(\overline{X}\xrightarrow{p}a\) .

样本的均值性质

原文：https://www.cnblogs.com/wf-strongteam/p/9042971.html