数学模型

Catalan

卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利

• [AHOI2012]树屋阶梯
• 鸡蛋饼
• [SCOI2010]生成字符串

Stirling

斯特林数

容斥

容斥原理（翻译）

• UVA10325 The Lottery(状压+容斥)
• UVA11806 Cheerleaders
• SP4191 MSKYCODE - Sky Code
• [CQOI2015]选数(容斥+递推)
• [SCOI2010]幸运数字

莫比乌斯反演与筛法

\[g(n)=\sum_{d|n}f(d)\] \[f(n)=\sum_{d|n}{\mu(d)g(\frac{n}{d})}\]
blogs:

1. 莫比乌斯反演入门
2. 【算法】 莫比乌斯反演 -boshi
3. 我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛"
4. 浅谈一类积性函数的前缀和
5. 莫比乌斯反演总结
6. 常见积性函数的筛法

题目:

• HDU1695 GCD + [HAOI2011]Problem b + [POI2007]ZAP-Queries
  三倍经验
• [SDOI2015]约数个数和
• Crash的数字表格
• P2257 YY的GCD
• 莫比乌斯函数之和
• 4805: 欧拉函数求和
• SP4168 SQFREE - Square-free integers
• 2440: [中山市选2011]完全平方数
• [SDOI2014]数表（莫比乌斯反演+树状数组）
• P3768 简单的数学题
• 3309: DZY Loves Math
• P4240 毒瘤之神的考验(真的毒瘤的预处理啊orz)
• [NOI2016]循环之美
• [SDOI2017]数字表格（关于幂的莫比乌斯反演orz）

二项式反演

\[f(n)=\sum_{k=p}^n (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})g(k)\]
\[g(n)=\sum_{k=p}^n(-1)^{n-k}(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})f(k)\]
莫比乌斯函数、二项式、斯特林数以及它们的反演

1. 3622: 已经没有什么好害怕的了

公式:

1. \[g(n)=\sum_{d|n}f(d)\] \[f(n)=\sum_{d|n}{\mu(d)g(\frac{n}{d})}\]
2. \[f(n)=\sum_{k=p}^n (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})g(k)\]
   \[g(n)=\sum_{k=p}^n(-1)^{n-k}(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})f(k)\]
3. \[g(n)=\sum_{n|d}{f(d)[d \leq m]}\] \[f(n)=\sum_{n|d}{\mu(\frac{d}{n})g(d)[d \leq m]}\]
4. 如果\(f(n)\)是积性函数，且\((x, y) = 1\)，则有
   \[f(xy)=f(x)f(y)\]
5. \[\sum_{i=1}^{n}{i[(i, n) == 1]}= \frac{\varphi(n)*n}2\]
   (用到结论:\(if (i, n) == 1, then (n-i, n) = 1\))
6. \[d(ij)=\sum_{x|n}{\sum_{y|n} [(x, y) == 1]}\]
7. \[\sum_{i=1}^{n}{i \times \lfloor \frac{n}{i} \rfloor} = \sum_{i=1}^n{\frac{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor + 1)}{2}}\]
8. \[(id*\mu)(i)=\varphi(i)\]
   \[(\varphi*I)(i)=id(i)\]
   \[(\mu*I)(i)=e(i)\]
9. \[[n == 1]=\sum_{d|n}{\mu(d)}\]
10. \[n=\sum_{d|n}{\varphi(d)}\]
11. \[\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}ij}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
12. 除数函数 \[\sigma_k(n)=\sum_{d|n}{d^k}\]
    约数个数函数 \[\tau(n)=\sigma_0(n)=\sum_{d|n}1\]
    约数和函数\[\sigma(n)=\sigma_1(n)=\sum_{d|n}d\]
13. \[\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}\]
    \[\sum_{i=1}^ni^2=\frac{(n+1)(2n+1)n}{6}\]
    \[\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]
14. \[\varphi(ij)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)(i,j)}{\varphi((i,j))}\]
15. \[[f(x) == 1] = e(f(x))=(\mu*I)(f(x))\]（常用于引进\(\mu\)以进行莫比乌斯反演，如[NOI2016]循环之美）

数学模型

原文：https://www.cnblogs.com/zerolt/p/9281380.html