[ACM] POJ 1845 Sumdiv(求A的B次方的所有因子的和，一大堆数学公式...,可做模板）

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题意是求A的B次方的所有因子的和。学到了一堆数学公式。。

下面知识点和思路转载于：http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648539

应用定理主要有三个：

要求有较强 数学思维 的题

应用定理主要有三个：

（1）   整数的唯一分解定理：

      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   其中pi均为素数

（2）   约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

    S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

（3）   同余模公式：

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

有了上面的数学基础，那么本题解法就很简单了：

1: 对A进行素因子分解

分解A的方法：

A首先对第一个素数2不断取模，A%2==0时 ，记录2出现的次数+1，A/=2；

当A%2!=0时，则A对下一个连续素数3不断取模...

以此类推，直到A==1为止。

注意特殊判定，当A本身就是素数时，无法分解，它自己就是其本身的素数分解式。

最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn.
      故 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

2：A^B的所有约数之和为：

     sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

3: 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

   上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

4：反复平方法计算幂次式p^n

   这是本题关键所在，求n次幂方法的好坏，决定了本题是否TLE。

   以p=2，n=8为例

   常规是通过连乘法求幂，即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2

   这样做的要做8次乘法

   而反复平方法则不同，

   定义幂sq=1，再检查n是否大于0，

While，循环过程若发现n为奇数，则把此时的p值乘到sq

{

   n=8>0 ，把p自乘一次， p=p*p=4     ，n取半 n=4

   n=4>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=16   ，n取半 n=2

n=2>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256  ，n取半 n=1，sq=sq*p

n=1>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256^2  ，n取半 n=0，弹出循环

}

则sq=256就是所求，显然反复平方法只做了3次乘法

以下转载于：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/7851144

今天我们学习如何有效地求表达式的值。对于这个问题，用二分解决比较好。

（1）当时，

（2）当时，那么有

（3）当时，那么有

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn=10010;
const int mod=9901;
int p[maxn];//存a的素数因子
int n[maxn];//存每个素数因子的个数

long long power(long long p,long long n)//快速幂运算
{
    long long ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=(ans*p)%mod;
        n/=2;
        p=(p*p)%mod;
    }
    return ans;
}

long long sum(long long p,long long n)//求1+p+p^2+p^3+....p^n的和，递归求解
{
    if(n==0)
        return 1;
    if(n&1)//n为奇数的情况下
        return (sum(p,n/2)*(1+power(p,n/2+1)))%mod;
    else
        return (sum(p,n/2-1)*(1+power(p,n/2+1))+power(p,n/2))%mod;
}

int main()
{
    int a,b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        int k=0;
        for(int i=2;i*i<=a;)
        {
            if(a%i==0)//求a的每个素因子的个数
            {
                p[k]=i;
                n[k]=0;
                while(a%i==0)
                {
                    n[k]++;
                    a/=i;
                }
                k++;
            }

            if(i==2)//奇偶法求因子，第一次遇到。。这样虽然效率不高，但是很简单。比如48，因子有 1 48 2 24 3 16 4 12 6 8， 可以写为48=2^4 *3
                i++;
            else
                i+=2;
        }

        if(a!=1)//按理说a素因子全部分解完，应该为1才是，如果不为1，说明a本身就是一个素数，不能分解为其它素数
        {
            p[k]=a;
            n[k++]=1;
        }

        int ans=1;
        for(int i=0;i<k;i++)
            ans=(ans*(sum(p[i],n[i]*b)%mod))%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

[ACM] POJ 1845 Sumdiv(求A的B次方的所有因子的和，一大堆数学公式...,可做模板）

原文：http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/38019291