首先黑白棋子的交换等价于黑棋子在白格子图上移动，都到达指定位置。
在这假设我们知道这题用网络流做。
那么黑棋到指定位置就是一条路径，考虑怎么用流模拟出这条路径。
我们发现除了路径的起点和终点的格子消耗次数为1，路径上其它点的格子交换次数为\(2\)。
可以想到把每个点拆成\(in\)和\(out\)，但这样无法体现出，作为起点/终点与路径中其它点的次数消耗差别。
于是拆成三个点，\(in,x,out\)，\(x\)代表原点，设点\(x\)流量为\(lim\)，\(in,out\)平分流量，边容量为\(\frac{lim}{2}\)。
直接\(\frac{lim}{2}\)对么？注意每个点只会作为起点或终点一次。若\(x\)最初白最后黑，那么会作为终点一次而不作为起点，则连边\((in\rightarrow x,\frac{lim+1}{2}),(x\rightarrow out,\frac{lim}{2})\)；若是黑到白，出会比入多一次；若该点不需要变则流量都是\(\frac{lim}{2}\)。
花费就在\(in\rightarrow x\)与\(x\rightarrow out\)上设\(1\)就行了。
对于起始图中的黑点\(i\)，连边\((S\rightarrow x(i),1)\)；对于最终图中的黑点\(i\)，连边\((x(i)\rightarrow T,1)\)。
对于相邻点\(i,j\)，连边\((out(i),in(j),INF)\)。
（\((u\rightarrow v,w)\)表示\(u\rightarrow v\)的单向边，容量为\(w\)）
为什么要拆三个点呢，因为对于可能是起点或终点的点我们无法区分初始流量。
但是如果它是起点或终点，则一定要作为起点或终点走一次，把流量给它就是了；否则是不会有\(1\)的流量的。
如果该点是起点或终点，则\(in\rightarrow out\)流量为\(\frac{lim+1}{2}\)，否则流量为\(\frac{lim}{2}\)。这样就可以只拆两个点了。
这个相邻怎么这么奇怪？？还就给一个水的不行的样例？？
拆成三个点：
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=2005,M=N*24,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,S,T,id[25][25][3],Enum,H[N],cur[N],nxt[M],to[M],cap[M],cost[M],dis[N],Cost;
bool vis[N];
std::queue<int> q;
char st[25][25],ed[25][25];
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
#define AE(u,v,w,c) to[++Enum]=v,nxt[Enum]=H[u],H[u]=Enum,cap[Enum]=w,cost[Enum]=c,to[++Enum]=u,nxt[Enum]=H[v],H[v]=Enum,cap[Enum]=0,cost[Enum]=-c
bool SPFA()
{
memset(vis,0,sizeof vis);
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
dis[S]=0, q.push(S);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop(), vis[x]=0;
for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])
if(cap[i] && dis[v=to[i]]>dis[x]+cost[i])
dis[v]=dis[x]+cost[i], !vis[v]&&(q.push(v),vis[v]=1);
}
return dis[T]<INF;
}
int DFS(int x,int f)
{
if(x==T) return f;
vis[x]=1;
for(int &i=cur[x],v,tmp; i; i=nxt[i])
if(cap[i] && !vis[v=to[i]] && dis[v]==dis[x]+cost[i])
if(tmp=DFS(v,std::min(cap[i],f)))
return cap[i]-=tmp,cap[i^1]+=tmp,Cost+=tmp*cost[i],tmp;
return 0;
}
int MCMF()
{
int res=0;
while(SPFA())
{
for(int i=S; i<=T; ++i) cur[i]=H[i];
while(int tmp=DFS(S,INF)) res+=tmp;
}
return res;
}
int main()
{
n=read(),m=read(),Enum=1,S=0,T=n*m*3+1;
for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%s",st[i]+1);
for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%s",ed[i]+1);
int tot=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=m; ++j)
id[i][j][0]=++tot,id[i][j][1]=++tot,id[i][j][2]=++tot;
int tot1=0, tot2=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)//0:x 1:in 2:out
{
char c=gc();
for(; !isdigit(c); c=gc());
for(int j=1; j<=m; ++j, c=gc())
{
const char s=st[i][j],t=ed[i][j];
const int x=id[i][j][0],in=id[i][j][1],out=id[i][j][2],lim=c-'0';
if(s=='1') AE(S,x,1,0), ++tot1;
if(t=='1') AE(x,T,1,0), ++tot2;
if(s=='1'&&t=='0') AE(in,x,lim>>1,1), AE(x,out,lim+1>>1,1);
else if(s=='0'&&t=='1') AE(in,x,lim+1>>1,1), AE(x,out,lim>>1,1);
else AE(in,x,lim>>1,1), AE(x,out,lim>>1,1);
if(i<n) AE(out,id[i+1][j][1],INF,0), AE(id[i+1][j][2],in,INF,0);//同色的当然也可以连边(想啥呢→_→)
if(i<n&&j<m) AE(out,id[i+1][j+1][1],INF,0), AE(id[i+1][j+1][2],in,INF,0);
if(i<n&&j>1) AE(out,id[i+1][j-1][1],INF,0), AE(id[i+1][j-1][2],in,INF,0);
if(j<m) AE(out,id[i][j+1][1],INF,0), AE(id[i][j+1][2],in,INF,0);
}
}
printf("%d\n",(tot1==tot2&&MCMF()==tot1)?Cost>>1:-1);
return 0;
}拆成两个点：
BZOJ.2668.[CQOI2012]交换棋子(费用流 多路增广)
原文：https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9595023.html