POJ 1050 To the Max (动规)

在一维情况下最大连续子段和的求法是从左到有顺序扫描数据，以0为边界，当累加和小于0时则重置为0.动态规划的状态转移方程为

s=max{s_i-1+ai,ai}，该方程和前面的描述是等价的。本题是对一维最大子段和的扩展，思路是从上到下找出所有的连续行(如第i行到第j行)，然后计算每列从第i行到第j行的和，之后对这n个列的和进行一维最大子段和的计算，并找出最大的值。

 假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：
  | a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
  | a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
  |  .     .     .    .    .     .    .   |
  |  .     .     .    .    .     .    .   |
  | ar1 …… ari ……arj ……arn |
  |  .     .     .    .    .     .    .   |
  |  .     .     .    .    .     .    .   |
  | ak1 …… aki ……akj ……akn |
  |  .     .     .    .    .     .    .   |
  | an1 …… ani ……anj ……ann |

 那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
 (ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
 由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

#include <iostream>
using namespace std;
#define M 110
int main()
{
	int a[M][M]={0},c[M][M]={0}; //a[M][M]用来存数，c[M][M]就是存这行到这一列的和。
	int i,j,n,max=0,sum,k;
    scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++)
	  for(j=1;j<=n;j++)
	  {
        scanf("%d",&a[i][j-1]);
        c[i][j]=c[i][j-1]+a[i][j-1];   //一行的下一个数和上面所有数的和。
	  } 
	  for(i=0;i<n;i++)
		  for(j=i;j<=n;j++)
		  {
			  sum=0;
			  for(k=0;k<n;k++)
			  {
				  sum+=c[k][j]-c[k][i];
				  if(sum<0) sum=0;  //小于0就相当于不用取了，直接去掉 
				  else if(sum>max) max=sum;
			  }
		  }
		  printf("%d\n",max);
		  return 0;
}